Luận án tiến sĩ: Tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng toán học

1 MỤC LỤC Mở đầu 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 21 1. Một số khái niệm và tính chất bổ trợ. Tính chất chính quy và điều kiện chuẩn hóa.

Kết luận Chương 1. Đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric 32 2. Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến. Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng.

Kết luận Chương 2. Ổn định xiên thông qua đạo hàm của ánh xạ dưới vi phân cho một lớp bài toán tối ưu với giả thiết chính quy gần kề 62 3. Đặc trưng bậc hai của tính ổn định xiên cho một lớp bài toán tối ưu không ràng buộc. Ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến với giả thiết dưới chính quy mêtric.

Kết luận Chương 3. 102 Kết luận chung và kiến nghị 104 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 106 Tài liệu tham khảo 107 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn tại x ∀x với mọi x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị của ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu của ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh của ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > 0 B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) : X → Y đạo hàm của f tại x δΩ (·) hàm chỉ của tập Ω R tập số thực R− tập số thực không dương R tập số thực suy rộng R ∪ {±∞} Sn tập tất cả các ma trận thực đối xứng cấp n Rn không gian Ơclit n chiều Rn+ tập hợp các véctơ với tọa độ không âm trong Rn Rn− tập hợp các véctơ với tọa độ không dương trong Rn ∅ tập rỗng x ∈ Rn x là phần tử của tập Rn C ⊂ Rn C là tập con của Rn h.i tích vô hướng trong Rn 4 k.k chuẩn Ơclit trong Rn intΩ phần trong của tập Ω convΩ bao lồi của tập Ω C⊥ phần bù trực giao của C trong Rn , tức là C ⊥ := u ∈ Rn | hu, xi = 0 với mọi x ∈ C  Co nón cực của C trong Rn , tức là C o := u ∈ Rn | hu, xi ≤ 0 với mọi x ∈ C  posC tổ hợp tuyến tính dương của C trong Rn , tức là nP k posC := λi ci | λi ≥ 0, ci ∈ C ∪ {0}, i=1 o i = 1,. k, k ∈ N {xi } dãy véctơ ϕ x → x̄ x → x̄ và ϕ(x) → ϕ(x̄) Ω x → x̄ x → x̄ và x ∈ Ω ε↓0 ε → 0 và ε ≥ 0 [γ]+ phần dương của γ , tức là [γ]+ := max{γ, 0} dΩ (x) khoảng cách từ x đến Ω δΓ hàm chỉ của tập Γ o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t (tức là lim o(t) t = 0) t→0 P := Q P được định nghĩa bằng Q  kết thúc chứng minh lim inf ϕ giới hạn dưới của hàm số ϕ lim sup ϕ giới hạn trên của hàm số ϕ NbΩ (x) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x TΩ (x) nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x b ∗F D đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ F DF đạo hàm đồ thị của ánh xạ F ∂ϕ b dưới vi phân Fréchet của hàm ϕ ∂ϕ dưới vi phân qua giới hạn của hàm ϕ 5 I(x) tập chỉ số hoạt tại x I + (λ) tập các chỉ số bù chặt Λ(x, x∗ ) tập các nhân tử KKT tương ứng với (x, x∗ ) Λ(x, x∗ ; v) tập nhân tử nhân tử theo hướng v K(x, x∗ ) nón tới hạn của Γ tại (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange Lg (x, α, λ) hàm Lagrange suy rộng LP(v) bài toán quy hoạch tuyến tính phụ thuộc tham số v DP(v) bài toán đối ngẫu của LP(v) subregF (x̄, ȳ) môđun tính dưới chính quy mêtric của F tại (x̄, ȳ) tilt(f, x̄) môđun chính xác của tính ổn định xiên của f tại x̄ 6 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEPP tính chất điểm cực biên bị chặn CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương CRCQ chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng KKT Karush-Kuhn-Tucker LICQ chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính MFCQ chuẩn hóa ràng buộc Mangasaria-Fromivitz MSCQ chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương nới lỏng RCQ chuẩn hóa ràng buộc Robinson RUSOSC điều kiện đủ bậc hai đều nới lỏng SSOSC điều kiện đủ bậc hai mạnh USOSC điều kiện đủ bậc hai đều 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên quan, đầu những năm 1960, R.

Moreau đề xuất và nghiên cứu khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi. Giữa thập niên 1970, F. Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm có thể không lồi. Đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980.

Bên cạnh đó, nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác (đạo hàm theo hướng, dưới đạo hàm, dưới vi phân bậc hai, dưới đạo hàm bậc hai,.) cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu. Wets xuất bản cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis” ([70]) trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và bổ sung những kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu sự ra đời của Giải tích biến phân. Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi đó giải tích biến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh mẽ và phát triển nhanh ([21], [55], [56], [70]). Lĩnh vực này thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây ([6], [8], [55], [70]).

Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và ứng dụng ([55]). Hơn nữa, đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ra một cách tự nhiên: thứ nhất là cấu trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc đó theo dữ 8 liệu ban đầu của bài toán. Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đề này người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số, ánh xạ hay tập hợp có liên quan ([21], [44], [55], [70]). Chính vì vậy, các tính chất chính quy là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích biến phân ([21], [44], [55], [65], [70]).

Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ý trong giải tích biến phân bậc nhất ([15], [21], [36], [43], [51]). Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai ([25], [52]). Tuy vậy, vai trò của tính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần được khảo sát thêm. Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng”.

Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (còn được gọi là đạo hàm đồ thị dưới gradient), tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness). Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàm đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho 9 các bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề. Đồng thời, luận án cũng quan tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần.

- Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dưới gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kĩ thuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong giải tích biến phân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến; qua đó làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Luận án là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng.

Tổng quan và cấu trúc của luận án 7. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân và ứng dụng ([55], [56], [70]). Một mặt, những tính chất này được dùng để thiết lập điều kiện cực trị và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các 10 bài toán tối ưu và các bài toán liên quan. Mặt khác, chúng được sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tích biến phân.

Ngoài ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ của các thuật toán trong tối ưu số ([29], [54], [55], [57], [58]). Trong giải tích biến phân, người ta đã đề xuất và nghiên cứu nhiều khái niệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị. Đối với tập hợp, tập chính quy Clarke và tập chính quy gần kề là hai khái niệm rất đáng chú ý, bởi vai trò quan trọng của chúng trong việc nghiên cứu lý thuyết vi phân suy rộng và ứng dụng.