Luận án tiến sĩ: Khảo sát bài toán biên phương trình sóng phi tuyến - Đoàn Thị Như Quỳnh
Luận án tiến sĩ khảo sát bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến phi địa phương. Nghiên cứu sự tồn tại và tính chất nghiệm của các bài toán Robin-Dirichlet, Dirichlet-Neumann.
Toán giải tích
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
168
Thời gian đọc
26 phút
Lượt xem
2
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
50 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Phương trình sóng phi tuyến phi địa phương
Phương trình sóng phi tuyến phi địa phương là lớp phương trình đạo hàm riêng đặc biệt. Các phương trình này chứa toán tử phi địa phương. Toán tử này phụ thuộc vào giá trị nghiệm trên toàn miền xác định. Không chỉ phụ thuộc vào giá trị tại một điểm cụ thể.
Phương trình Kirchhoff-Carrier là ví dụ điển hình. Phương trình này mô tả dao động của dây đàn hồi. Số hạng phi địa phương xuất hiện qua tích phân theo thời gian. Hoặc qua chuẩn của nghiệm trong không gian Sobolev.
Đặc điểm quan trọng là tính phi tuyến. Tính phi tuyến làm phức tạp việc phân tích nghiệm. Các phương pháp tuyến tính cổ điển không áp dụng được trực tiếp. Cần sử dụng kỹ thuật đặc biệt như phương pháp Galerkin. Hoặc các định lý điểm bất động trong không gian hàm.
Ứng dụng thực tế rất đa dạng. Bao gồm cơ học vật liệu nhớt đàn hồi. Mô hình hóa dao động màng và dây. Các hiện tượng truyền sóng trong môi trường phi tuyến. Nghiên cứu lớp phương trình này có ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao.
1.1. Đặc trưng toán tử phi địa phương
Toán tử phi địa phương không chỉ phụ thuộc giá trị tại điểm. Mà phụ thuộc vào tích phân nghiệm trên miền. Hoặc phụ thuộc chuẩn trong không gian Sobolev. Điều này tạo nên tính chất toàn cục đặc biệt.
Ví dụ điển hình là số hạng đàn hồi nhớt. Số hạng này chứa tích phân từ 0 đến t. Tích phân này phụ thuộc vào lịch sử nghiệm. Không chỉ giá trị tức thời. Tính chất này phản ánh hiệu ứng nhớ của vật liệu.
1.2. Tính phi tuyến trong phương trình
Tính phi tuyến xuất hiện qua nhiều dạng. Có thể là phi tuyến trong nguồn ngoài. Hoặc phi tuyến trong hệ số của phương trình. Thậm chí phi tuyến trong điều kiện biên.
Phương trình Kirchhoff-Carrier chứa hệ số phi tuyến. Hệ số này phụ thuộc chuẩn gradient nghiệm. Điều này làm phương trình trở nên phức tạp. Cần phương pháp phân tích tinh vi để nghiên cứu.
1.3. Ứng dụng trong cơ học và vật lý
Phương trình sóng phi tuyến mô tả nhiều hiện tượng vật lý. Dao động dây đàn hồi phi tuyến là ứng dụng quan trọng. Mô hình màng đàn hồi với vật liệu nhớt.
Trong kỹ thuật, mô hình này xuất hiện trong thiết kế cấu trúc. Phân tích độ bền vật liệu composite. Nghiên cứu lan truyền sóng trong môi trường phức tạp. Hiểu rõ phương trình giúp cải thiện thiết kế công trình.
II. Bài toán biên Robin Dirichlet phi tuyến
Bài toán biên kết hợp điều kiện Robin và Dirichlet. Điều kiện Robin áp dụng tại biên x=0. Điều kiện Dirichlet áp dụng tại biên x=1. Đây là bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất.
Điều kiện Robin có dạng ux(0,t) - h0u(0,t) = g0(t). Điều kiện này kết hợp đạo hàm và giá trị hàm. Phản ánh tương tác giữa nghiệm và môi trường bên ngoài. Điều kiện Dirichlet đơn giản hơn: u(1,t) = g1(t).
Số hạng đàn hồi nhớt làm phức tạp bài toán. Số hạng này chứa tích phân theo thời gian. Tích phân từ 0 đến t của hàm nhớ. Phản ánh tính chất vật liệu phụ thuộc lịch sử biến dạng.
Nghiệm của bài toán cần thỏa điều kiện ban đầu. Cả vị trí ban đầu u(x,0) và vận tốc ban đầu ut(x,0). Sự tồn tại và duy nhất nghiệm là câu hỏi cơ bản. Các tính chất nghiệm như tính chính quy cũng được quan tâm.
2.1. Điều kiện biên hỗn hợp
Điều kiện biên Robin tại x=0 kết hợp đạo hàm và giá trị. Tham số h0 đặc trưng cho tương tác với môi trường. Giá trị h0 dương phản ánh điều kiện tản nhiệt. Giá trị h0 âm có thể gây bất ổn định.
Điều kiện Dirichlet tại x=1 cố định giá trị nghiệm. Đây là điều kiện cứng hơn điều kiện Robin. Sự kết hợp tạo bài toán biên hỗn hợp. Phân tích toán học phức tạp hơn bài toán thuần nhất.
2.2. Số hạng đàn hồi nhớt tích phân
Số hạng đàn hồi nhớt chứa tích phân Volterra. Tích phân từ thời điểm ban đầu đến hiện tại. Hàm nhớ k(t,s) đặc trưng cho hiệu ứng trễ. Vật liệu nhớ lịch sử biến dạng.
Dạng tích phân này xuất hiện trong lý thuyết vật liệu nhớt. Mô tả ứng xử của polymer và composite. Phân tích toán học yêu cầu kỹ thuật đặc biệt. Như ước lượng tích phân và bất đẳng thức Gronwall.
2.3. Điều kiện ban đầu và tương thích
Điều kiện ban đầu gồm vị trí và vận tốc. Cần thỏa điều kiện tương thích với điều kiện biên. Nếu không, nghiệm có thể không chính quy. Hoặc chỉ tồn tại nghiệm yếu.
Điều kiện tương thích đảm bảo tính liên tục. Giữa dữ liệu ban đầu và dữ liệu biên. Điều này quan trọng cho sự tồn tại nghiệm cổ điển. Nếu vi phạm, chỉ có nghiệm yếu trong không gian Sobolev.
III. Phương pháp Galerkin và nghiệm xấp xỉ
Phương pháp Galerkin là công cụ mạnh cho phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp chiếu phương trình lên không gian hữu hạn chiều. Tạo dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm chính xác.
Chọn cơ sở trực chuẩn trong không gian Sobolev. Thường dùng hàm riêng của toán tử Laplace. Nghiệm xấp xỉ bậc m là tổ hợp tuyến tính m hàm cơ sở đầu tiên. Hệ số xác định bởi hệ phương trình vi phân thường.
Ước lượng tiên nghiệm là bước quan trọng. Cần ước lượng độc lập với m. Đảm bảo dãy nghiệm xấp xỉ bị chặn. Cho phép trích dãy con hội tụ yếu.
Giới hạn yếu của dãy con là nghiệm yếu. Cần chứng minh hội tụ mạnh của một số số hạng. Đặc biệt số hạng phi tuyến. Kỹ thuật compactness và đơn điệu thường được dùng. Cuối cùng chứng minh giới hạn thỏa phương trình ban đầu.
3.1. Xây dựng nghiệm xấp xỉ Galerkin
Chọn cơ sở {wj} trực chuẩn trong không gian Sobolev H1. Thường dùng hàm riêng của toán tử -d²/dx². Với điều kiện biên tương ứng.
Nghiệm xấp xỉ um(x,t) = Σ cjm(t)wj(x). Tổng từ j=1 đến m. Hệ số cjm(t) thỏa hệ phương trình vi phân. Hệ này có từ phép chiếu phương trình gốc.
3.2. Ước lượng tiên nghiệm độc lập
Nhân phương trình xấp xỉ với hàm test phù hợp. Thường chọn đạo hàm theo thời gian của nghiệm. Tích phân theo không gian và thời gian.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Young. Để tách các số hạng phi tuyến. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall. Thu được ước lượng độc lập với m.
3.3. Giới hạn yếu và nghiệm yếu
Từ ước lượng tiên nghiệm, dãy {um} bị chặn. Trong không gian Sobolev phù hợp. Trích dãy con hội tụ yếu đến u.
Chứng minh u là nghiệm yếu. Cần chuyển giới hạn trong phương trình. Số hạng tuyến tính dễ xử lý. Số hạng phi tuyến cần kỹ thuật compactness. Hoặc tính đơn điệu nếu có.
IV. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh qua phương pháp Galerkin. Hoặc phương pháp điểm bất động. Nghiệm yếu thuộc không gian Sobolev phù hợp. Thỏa phương trình theo nghĩa phân phối.
Định nghĩa nghiệm yếu dựa trên công thức tích phân. Nhân phương trình với hàm test trơn. Tích phân theo miền không gian-thời gian. Nghiệm yếu thỏa đẳng thức tích phân này.
Duy nhất nghiệm yếu thường khó hơn tồn tại. Cần giả thiết mạnh hơn về dữ liệu. Như tính Lipschitz của số hạng phi tuyến. Hoặc tính đơn điệu mạnh.
Phương pháp chứng minh duy nhất tiêu biểu. Giả sử có hai nghiệm u1 và u2. Xét hiệu w = u1 - u2. Chứng minh w thỏa phương trình tuyến tính. Với dữ liệu không. Suy ra w = 0 từ ước lượng năng lượng.
4.1. Định nghĩa nghiệm yếu chính xác
Nghiệm yếu u thuộc không gian Sobolev L∞(0,T;H1). Đạo hàm ut thuộc L∞(0,T;L2). Thỏa điều kiện ban đầu theo nghĩa trace.
Với mọi hàm test v trơn. Thỏa điều kiện biên thuần nhất. Nghiệm yếu thỏa công thức tích phân yếu. Chứa tất cả số hạng của phương trình.
4.2. Chứng minh sự tồn tại nghiệm
Sử dụng phương pháp Galerkin như trình bày trước. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ. Thu ước lượng tiên nghiệm độc lập.
Trích dãy con hội tụ yếu. Chuyển giới hạn trong phương trình xấp xỉ. Chứng minh giới hạn là nghiệm yếu. Thỏa điều kiện ban đầu và biên.
4.3. Chứng minh tính duy nhất nghiệm
Giả sử u1, u2 là hai nghiệm yếu. Cùng dữ liệu ban đầu và biên. Đặt w = u1 - u2.
Chứng minh w thỏa phương trình tuyến tính. Với dữ liệu không. Áp dụng ước lượng năng lượng. Dùng bất đẳng thức Gronwall. Suy ra w ≡ 0, tức u1 = u2.
V. Tính chất nghiệm và độ chính quy
Tính chất nghiệm bao gồm độ trơn và ước lượng. Nghiệm yếu có thể không đủ trơn. Cần điều kiện mạnh hơn cho nghiệm cổ điển.
Nghiệm cổ điển có đạo hàm liên tục đến bậc cần thiết. Thỏa phương trình tại mọi điểm. Không chỉ theo nghĩa phân phối. Đòi hỏi dữ liệu đầu vào trơn và tương thích.
Ước lượng tiên nghiệm cao hơn cho độ chính quy. Ước lượng đạo hàm bậc hai theo không gian. Hoặc đạo hàm bậc cao theo thời gian. Cần kỹ thuật vi phân phương trình.
Tính liên tục theo dữ liệu cũng quan trọng. Nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu. Và điều kiện biên. Đảm bảo bài toán đặt chính.
5.1. Nghiệm cổ điển và điều kiện đủ
Nghiệm cổ điển u có đạo hàm riêng liên tục. Đến bậc hai theo không gian. Đến bậc hai theo thời gian. Thỏa phương trình tại mọi điểm.
Điều kiện đủ: dữ liệu ban đầu đủ trơn. Thuộc không gian Sobolev bậc cao. Thỏa điều kiện tương thích. Số hạng nguồn đủ trơn.
5.2. Ước lượng độ chính quy cao hơn
Vi phân phương trình theo thời gian. Hoặc theo không gian. Nhân với hàm test phù hợp. Tích phân và ước lượng.
Thu được ước lượng đạo hàm bậc cao. Trong không gian Sobolev tương ứng. Sử dụng bất đẳng thức Sobolev. Và bất đẳng thức nội suy.
5.3. Tính liên tục theo dữ liệu
Xét hai nghiệm u1, u2. Ứng với dữ liệu khác nhau. Đặt w = u1 - u2.
Chứng minh w thỏa phương trình tuyến tính. Với dữ liệu là hiệu của dữ liệu ban đầu. Ước lượng chuẩn w. Theo chuẩn hiệu dữ liệu. Suy ra tính liên tục.
VI. Thuật giải lặp và nghiệm số xấp xỉ
Thuật giải lặp cấp N là phương pháp số hiệu quả. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm chính xác. Mỗi bước lặp giải bài toán tuyến tính đơn giản hơn.
Sơ đồ lặp: cho nghiệm khởi đầu u0. Tính uk+1 từ uk bằng giải phương trình tuyến tính hóa. Số hạng phi tuyến dùng giá trị của uk. Chứng minh dãy {uk} hội tụ.
Tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số. Và độ trơn của dữ liệu. Có thể đạt hội tụ tuyến tính. Hoặc siêu tuyến tính với điều kiện phù hợp.
Rời rạc hóa không gian-thời gian cho thuật toán số. Dùng phương pháp sai phân hữu hạn. Hoặc phương pháp phần tử hữu hạn. Kết hợp với sơ đồ lặp. Thu được thuật toán tính toán hoàn chỉnh.
6.1. Xây dựng sơ đồ lặp tuyến tính hóa
Cho nghiệm khởi đầu u0 đủ trơn. Thỏa điều kiện ban đầu và biên. Tại bước k, giải phương trình tuyến tính.
Phương trình cho uk+1 có số hạng phi tuyến. Thay bằng giá trị tại uk. Đây là phương trình tuyến tính. Dễ giải hơn phương trình gốc.
6.2. Chứng minh hội tụ của dãy lặp
Xét hiệu wk = uk+1 - uk. Chứng minh wk thỏa phương trình tuyến tính. Ước lượng chuẩn wk theo chuẩn wk-1.
Thu được bất đẳng thức đệ quy. Với hệ số co < 1. Suy ra dãy {uk} là dãy Cauchy. Hội tụ đến nghiệm u.
6.3. Rời rạc hóa và thuật toán số
Chia miền không gian thành lưới. Với bước h. Chia miền thời gian với bước τ. Dùng sai phân hữu hạn xấp xỉ đạo hàm.
Kết hợp với sơ đồ lặp. Thu hệ phương trình đại số tuyến tính. Giải bằng phương pháp lặp. Hoặc phương pháp trực tiếp. Phân tích ổn định và sai số.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (168 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ NHƯ QUỲNH KHAO SÁT MOT SO BÀI TOÁN BIEN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYEN CHỨA SO HANG PHI DJA PHUONG LUẬN ÁN TIEN SĨ TP. Hồ Chí Minh — Năm 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE DOAN THI NHU QUYNH STUDYING SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A NONLINEAR WAVE EQUATION CONTAINING NONLOCAL TERMS Doctoral Thesis ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ NHƯ QUỲNH KHẢO SÁT MOT SO BÀI TOÁN BIEN CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG PHI TUYẾN CHỨA SO HẠNG PHI DJA PHƯƠNG Ngành: Toán giải tích Mã sô ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS.
Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS. Nguyễn Huy Tuấn Phản biện độc lập I: PGS. Lê Minh Triết Phản biện độc lập 2: TS.
Nguyễn Văn Ý NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Lê Thị Phương Ngọc 2. Nguyễn Thành Long TP. Hồ Chí Minh — Năm 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam doan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, uới dé tài “Khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa sô hạng phi địa phương” là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cô PGS.
Lê Thị Phuong Ngoc va Thay TS. Nguyễn Thành Lơng. Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác va không trùng lắp uới các công trình đã công bô trong va ngoài nước. Các bài báo đồng tác gid da được các đồng tác gid cho phép sử dung để uiết luận án nay.
Nghiên cứu sinh Đoàn Thị Như Quỳnh L Ời cảm on Lời đầu tiên, tôi bay tỏ long biết ơn sâu sắc đến Cô PGS. Lê Thị Phương Ngọc va Thay TS. Nguyên Thanh Long vé sự tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu va hoàn thành luận án. Thay, Cô luôn quan tâm, động vién va giúp đỡ tôi trước những khó khăn của viéc học tập cũng như trong cuộc sông.
Tời xin cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Nhân đã luôn hỗ trợ, đọc bản luận án va cho những ý kiến đóng gdp xác đáng va quý báu giúp tôi hiểu sâu hon. Tôi bay tỏ lòng kính trong va biết ơn đến các Nha Khoa học, Quy Thay Cô trong các Hội đồng cham luận án tiễn sĩ cap Bộ môn, cap cơ sở Dao tạo, các chuyên gia phản biện độc lập va chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét rat bổ ích giúp tôi hoàn thiện tốt luận án. Tôi v6 cùng biết on Quý Thay Cô trong va ngoài Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa hoc Tự nhiên, Dai học Quốc gia Tp.
Hồ Chí Minh, da truyén đạt kiến thức va kinh nghiệm học thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường. Trân trọng cam ơn Ban Giám hiệu, Quý Thay Cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Dai học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tạo moi điều kiện thuận lợi siúp tôi hoàn thành chương trình học. Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chap hành Công Đoàn Trường, các Phòng Ban của trường Dai học Công Thương Tp.
Hồ Chí Minh va các Anh Chi đồng nghiệp tại trường lời cam ơn sâu sắc vi sự hỗ trợ vé nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh. Tôi chân thành cảm ơn các Thay Cô, Anh Chị, các Bạn thuộc nhóm Seminar đặc biệt là TS. Võ Thị Tuyết Mai, TS. Lê Hữu Ky Son, NCS.
Bùi Đức Nam, NCS. Nguyễn Vũ Dzũng da đóng sóp những y kiến va kinh nghiệm quý báu trong nhiều buổi sinh hoạt học thuật định ky. Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất giti đến các thành uiên của gia đình tôi, những người da luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động uiên, hỗ trợ va tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi học tập. ii Mục lục ee i eee ii Trang thong tin luận án tiếng Việt.
v Trang thong tin luận án tiếng Anh|. xi Chuong1 MỞĐẦU|. 1 Chương2 TỔNGQUAN|. 4 Chương3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU| .1 Cac không gian hàm thông dụng|.2 Phương pháp nghiêncứu| .ẶẶSẶẶẶ So 20 Chuong4 Khảo sát bài toán Robin-Dirichlet không thuần nhất cho phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa sô hạng đàn hồi nhớt 32 11 6.2 Thiết lập thuật giải lặp cap N 64 Kếtluận Chương 6|.
140 Chương7 KÊT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ|. 141 ¬ ee eee 141 ¬ ee 143 `. 144 ¬ 154 1V TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa s6 hang phi địa phương Ngành: Toán giải tích Mã số ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: Đoàn Thị Như Quỳnh Khóa đào tạo: 2020 Người hướng dẫn khoa học: - PGS. Lê Thị Phương Ngọc - TS.
Nguyễn Thành Long Cơ sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, ĐHỌG-HCM 1. TOM TAT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Luận án khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa các sO hạng phi dia phương và nghiên cứu sự ton tại nghiệm, các tính chất của nghiệm đối với các bài toán này. Ngoài phần giới thiệu mở đầu, tổng quan, các phương pháp nghiên cứu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương 4, 5 và 6 tương ứng với các bài toán như sau: Trong Chương 4, luận án khảo sát bài toán Robin-Dirichlet không thuần nhất cho phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng ở tụ — Au — ~ [By (x,t,u(x,Ð),|Iu(ĐIỂ, lIrs@)|P) a t 9 + [ lt) |ta (x,s,m(x,5), Ir{s)|Ê, us(s)|Ủ) nạ(e,s)] ds =F (tt, lIs(ĐIỂ, Iex(Đ)IỂ, In(Đ|Ê), (1) 0<x<10<t<T, ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), u(1,t) = g1(t), u(x,0) = fig(x), us(x,0) = (x), trong đó A > 0, họ > 0 là các hằng số, ƒ,8, 80, 81 tu Hạ, Ho, Hy là các hàm số cho trước. Với các giả thiết phù hợp, bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp phương pháp Faedo-Galerkin và phương pháp compact, trước hết luận án chứng minh sự ton tại duy nhất của nghiệm yếu của Bài toán (1p.
Tiếp theo, luận án thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của Bài toán (1) theo một tham số bé e đến cấp N + 1, ở đây Bài toán (1) được xét với ƒ = ƒ + efi, fi = fi(x,t,u, ux, Ut, IIz(£) |", Il (t)||7, lIi,(Đ)lÍ). Trong Chương 5, luận án khảo sát bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng tích chập phi tuyến theo biến thời gian như sau a2 t a2 : tụ — Attai — Soy ÍM(%,t,tx,Ð)|+ [g(t 8) 25 [a (a, 5, u(x,))] ds = f (x,t, u, up, Ux, Uty), O< x <1,0<t<T, (2) u(0,t) = u(1,t) =0, u(x,0) = fig(x), up(x,0) = ñ1(3), trong đó ƒ, g, 1, ji, ño, ñ là các hàm số cho trước va A > 0 là hang số. Trước hết, luận án phát biểu và chứng minh một định lý liên quan đến sự tổn tại duy nhất của một nghiệm yếu địa phương của Bài toán (2). Tiếp theo, luận án chứng minh một điều kiện đủ để nhận được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của Bài toán vào các hàm yn, 7, ƒ, g.
Dưới các giả thiết phù hợp, luận án cũng chứng minh sự tổn tại của nghiệm toàn cục của Bài toán (2) trong trường hợp đặc biệt = p(t,u), fi = u, ƒ= —Ayu t+ f(u) 5 Dậy(t,w)uệ +F(x,t), đồng thời nghiệm toàn cục này tắt dan tổng quát với năng lượng ban đầu dương khi t > +o. Trong Chương 6, luận án thiết lập một thuật giải lặp cấp cao cho Bài toán (2) trong trường hợp ƒ = f(x,t,u). Bằng thuật giải lặp cấp cao này, luận án chứng minh được sự tổn tại của một dãy lặp, hơn nữa dãy lặp thu được hội tụ bậc N về nghiệm yếu duy nhất của bài toán. Ngoài ra, một đánh giá về tốc độ hội tụ của dãy lặp về nghiệm của bài toán đang xét cũng được chỉ ra.
NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN - Phát biểu và chứng minh một định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của Bài toán (1). Thiết lập được khai triển tiệm cận của nghiệm yêu của Bài toán (1) theo tham số bé e đến cấp N + 1 trong trường hợp ƒ = f + efi, với fi = falta te u(t) Ies(Đ|Ê, a9). - Phát biểu và chứng minh một định ly về sự tồn tại va duy nhất nghiệm yếu dia phương của Bài toán (2). Thiết lập một điều kiện du để thu được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các hàm p, 7, ƒ, g.
Phát biểu và chứng minh các điều kiện đảm bảo sự ton tại toàn cục của Bài toán (2), đồng thời nghiệm toàn cục này tắt dan tổng quát khi ƒ — +©o. - Thiết lập được một thuật giải lặp cấp cao cho Bài toán (2), trong trường hợp f = ƒ(x,t,u), để thu được một dãy lặp hội tụ bậc N về nghiệm yếu duy nhất của bài toán VI và đánh giá được tốc độ hội tụ của dãy lặp về nghiệm của bài toán đang xét. CAC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU - Tìm kiếm thêm các tính chất của nghiệm của Bai toán (1) như tinh bùng nổ, hoặc tính tắt dần, tính ổn định của nghiệm; - Thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm của Bài toán (2) theo một tham số bé, hoặc khảo sát tính bùng nổ của nghiệm sau thời gian hữu hạn; - Thiết lập một thuật giải lặp cấp cao cho Bài toán (2) trong trường hợp ƒ = f (x,t, u, Up); - Xây dung các vi du tính số minh họa cho các kết quả lý thuyết đã nêu, tương ứng với các Bài toán (1), (2). VI THESIS INFORMATION Thesis title: Studying some boundary value problems for a nonlinear wave equa- tion containing nonlocal terms.
Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102 Name of PhD Student: Doan Thi Nhu Quynh Academic year: 2020 Supervisor: - Assoc. Le Thi Phuong Ngoc - Doctor of Philosophy Nguyen Thanh Long At: VNUHCM- University of Science 1. SUMMARY: This thesis investigates some boundary problems for nonlinear wave equations con- taining nonlocal terms and focuses on studying the solvability together with the prop- erties of the solutions for these problems. In addition to the parts such as the introduc- tion, literature review, research methods, conclusions and references, the main results of the thesis is presented in three chapters 4, 5 and 6 corresponding to the above prob- lems as follows: Chapter 4 considers the following Robin-Dirichlet problem for a nonlinear wave equation of Kirchhoff - Carrier type with a viscoelastic term 9 tsp — Atsx — [Bey (x.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Từ khóa và chủ đề nghiên cứu
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ khảo sát bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến phi địa phương. Nghiên cứu sự tồn tại và tính chất nghiệm của các bài toán Robin-Dirichlet, Dirichlet-Neumann.
Luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. HCM. Năm bảo vệ: 2023.
Luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Danh mục: Giải Tích.
Luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" có bao nhiêu trang?
Luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" có 168 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến phi địa phương" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.