Luận án tiến sĩ: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p - Nghiên cứu chuyên sâu về phương trình elliptic và parabolic
Luận án tiến sĩ nghiên cứu bài toán biên giả vi phân trong không gian HL P P khác 2, đề xuất phương pháp mới để giải quyết vấn đề này.
Luan An
Luận án tiến sĩ
Số trang
127
Thời gian đọc
20 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Tổng quan nhanh
- Chủ đề:
- Tổng quan về bài toán biên giả vi phân
- Số trang:
- 127 trang
- Tác giả:
- Luan An
Tóm tắt nội dung luận án
I.Tổng quan về bài toán biên giả vi phân
Luận án tập trung nghiên cứu các bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p. Tài liệu mở đầu bằng cái nhìn tổng quan về lịch sử phát triển của lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng. Từ những công trình tiên phong của Euler và Laplace đến những tiến bộ đáng kể trong thế kỷ 20. Sự phát triển này có sự đóng góp lớn từ Giải tích hàm và lý thuyết hàm suy rộng. Các bài toán biên đóng vai trò nền tảng trong nhiều mô hình vật lý. Luận án đặt ra mục tiêu giải quyết các bài toán biên phức tạp hơn. Công trình mở rộng nghiên cứu từ các dạng cổ điển sang phương trình giả vi phân. Đây là một bước tiến quan trọng trong lĩnh vực Giải tích điều hòa. Nghiên cứu cung cấp các phương pháp mới cho các lớp phương trình giả vi phân này. Việc hiểu biết sâu sắc về các không gian hàm là yếu tố then chốt.
1.1. Lịch sử phát triển của phương trình vi phân
Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE) khởi nguồn từ việc mô tả các hiện tượng vật lý. Các nhà toán học như Euler, d'Alembert và Laplace đã đặt nền móng. Đến giữa thế kỷ 19, Riemann chứng minh PDE là công cụ thiết yếu. Cuối thế kỷ 19, H. Poincare chỉ ra mối quan hệ giữa PDE và các ngành toán học khác. Sang thế kỷ 20, PDE phát triển mạnh mẽ. Công cụ Giải tích hàm và lý thuyết hàm suy rộng của S. Schwartz đã cách mạng hóa lĩnh vực này. Nhiều bài toán biên phức tạp đã được giải quyết nhờ những tiến bộ này.
1.2. Các bài toán biên cổ điển cho phương trình elliptic
Bài toán biên cho phương trình vi phân elliptic là một lĩnh vực nghiên cứu kinh điển. Chúng thường mô tả các trạng thái cân bằng hoặc ổn định. Các phương pháp giải quyết đã được phát triển rộng rãi. Lý thuyết nửa nhóm và toán tử elliptic đã cung cấp nhiều kết quả quan trọng. Các nghiên cứu ban đầu tập trung vào tính tồn tại và duy nhất của nghiệm. Nhiều kỹ thuật đã được xây dựng trên các không gian Lebesgue và không gian Sobolev. Đây là nền tảng vững chắc để mở rộng sang các toán tử giả vi phân phức tạp hơn, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cấu trúc không gian.
1.3. Bài toán biên cổ điển cho phương trình parabolic
Bên cạnh phương trình elliptic, bài toán biên cho phương trình vi phân parabolic cũng là trọng tâm. Chúng mô tả các quá trình tiến hóa theo thời gian, ví dụ như truyền nhiệt hoặc khuếch tán. Các nghiên cứu của E. Hille và R. Phillips về lý thuyết nửa nhóm đóng vai trò quan trọng. Các kết quả này cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi của nghiệm theo thời gian. Chúng là cơ sở lý thuyết để nghiên cứu các phương trình giả vi phân parabolic, đặc biệt là trong các miền không gian phức tạp. Nắm vững các khái niệm này giúp phân tích các mô hình động lực học hiệu quả hơn.
II.Bài toán biên cổ điển cho phương trình GVP elliptic
Chương này đi sâu vào bài toán biên cổ điển cho phương trình giả vi phân (GVP) elliptic. Nghiên cứu tập trung vào các đặc tính của nghiệm trong các không gian HL^p cụ thể. Việc xác định các không gian hàm phù hợp là bước đầu tiên. Các đặc tính của toán tử giả vi phân trong không gian Euclide Rn cũng được phân tích kỹ lưỡng. Sau đó, luận án giải quyết bài toán biên trên nửa không gian Rn+. Cuối cùng, mở rộng nghiên cứu sang các miền bị chặn. Đây là những nền tảng quan trọng cho việc phân tích sâu hơn các phương trình giả vi phân. Các kết quả đóng góp vào việc hiểu rõ hơn về tính tồn tại và tính trơn của nghiệm.
2.1. Nền tảng không gian hàm và toán tử giả vi phân
Luận án trình bày chi tiết về các không gian hàm cần thiết. Bao gồm không gian Lebesgue Lp(Ω), không gian Sobolev Ws,p(Ω), và các biến thể của chúng như không gian HL^p. Các định nghĩa và tính chất cơ bản được khảo sát. Điều này tạo nền tảng cho việc nghiên cứu toán tử giả vi phân. Các toán tử giả vi phân (GVP) được định nghĩa và phân tích. Đặc biệt là trong Rn, tập trung vào các tính chất liên tục và tác động của chúng lên các không gian hàm đã xác định. Việc hiểu rõ các toán tử giả vi phân là chìa khóa để giải quyết các phương trình giả vi phân phức tạp.
2.2. Giải bài toán biên trên nửa không gian
Nghiên cứu giải quyết bài toán biên cho phương trình giả vi phân elliptic trên nửa không gian Rn+. Đây là một trường hợp quan trọng để thiết lập các ước lượng ban đầu. Các điều kiện biên được đưa ra và phân tích. Luận án sử dụng các công cụ từ Giải tích điều hòa và lý thuyết toán tử giả vi phân. Mục tiêu là chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính trơn của nghiệm. Kết quả này cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi của nghiệm gần biên. Nó là bước đệm để khảo sát các miền phức tạp hơn.
2.3. Ứng dụng bài toán biên trên miền bị chặn
Tiếp theo, bài toán biên được nghiên cứu trên các miền bị chặn. Đây là một thách thức lớn hơn so với nửa không gian. Yêu cầu các kỹ thuật tinh vi hơn để xử lý điều kiện biên. Luận án áp dụng các kết quả đã đạt được từ nửa không gian. Kết hợp chúng với các phương pháp đối với miền bị chặn. Mục đích là thiết lập tính tồn tại, duy nhất của nghiệm. Đồng thời đánh giá tính trơn của nghiệm trong các không gian HL^p cụ thể. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong ứng dụng thực tiễn, nơi các miền vật lý thường là bị chặn.
III.Giải quyết bài toán biên không cổ điển elliptic
Chương này mở rộng nghiên cứu sang bài toán biên không cổ điển cho phương trình giả vi phân elliptic. Các bài toán biên này có thể bao gồm các điều kiện biên không địa phương hoặc các cấu trúc phức tạp hơn. Luận án phân biệt rõ hai loại chính: tuyến tính và nửa tuyến tính. Đối với trường hợp tuyến tính, các phương pháp từ Giải tích hàm được áp dụng. Trường hợp nửa tuyến tính đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt để xử lý phi tuyến tính. Nghiên cứu trong không gian HL^p cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc nghiệm. Các kết quả góp phần vào việc mở rộng lý thuyết về phương trình giả vi phân trong môi trường biên không chuẩn.
3.1. Tiếp cận bài toán biên tuyến tính giả vi phân
Bài toán biên không cổ điển cho phương trình giả vi phân elliptic tuyến tính được khảo sát. Các điều kiện biên có thể không tuân theo các dạng cổ điển. Luận án sử dụng các phương pháp từ lý thuyết toán tử giả vi phân và Giải tích hàm. Mục tiêu là chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nghiệm. Các kỹ thuật ước lượng a priori được phát triển. Đồng thời, đánh giá tính trơn của nghiệm trong các không gian HL^p tương ứng. Việc giải quyết trường hợp tuyến tính là nền tảng để tiếp cận các bài toán phức tạp hơn.
3.2. Nghiên cứu phương trình giả vi phân nửa tuyến tính
Trường hợp bài toán biên không cổ điển cho phương trình giả vi phân elliptic nửa tuyến tính là một thách thức lớn. Các yếu tố phi tuyến tính đòi hỏi các phương pháp chuyên biệt. Luận án áp dụng các phương pháp như điểm bất động hoặc lý thuyết đơn điệu. Mục tiêu là chứng minh sự tồn tại của nghiệm. Đặc biệt chú ý đến các điều kiện mà dưới đó nghiệm tồn tại và có tính chất mong muốn. Việc phân tích trong không gian HL^p giúp làm rõ cấu trúc của các nghiệm này. Các kết quả này mở rộng hiểu biết về các phương trình giả vi phân phi tuyến.
IV.Phân tích bài toán biên không cổ điển parabolic
Chương này chuyển trọng tâm sang bài toán biên không cổ điển cho phương trình giả vi phân parabolic. Tương tự như trường hợp elliptic, các điều kiện biên và bản chất của phương trình được mở rộng. Luận án bắt đầu bằng việc xác định các không gian hàm phù hợp cho phương trình parabolic. Sau đó, khảo sát bài toán biên cổ điển trên nửa trụ vô hạn. Cuối cùng, giải quyết các bài toán biên không cổ điển, cả tuyến tính và nửa tuyến tính. Các phương pháp được phát triển để xử lý sự phụ thuộc vào thời gian. Nghiên cứu này mở rộng phạm vi ứng dụng của toán tử giả vi phân trong các mô hình tiến hóa, đặc biệt trong không gian HL^p.
4.1. Khảo sát không gian hàm liên quan
Để nghiên cứu phương trình giả vi phân parabolic, cần có các không gian hàm chuyên biệt. Luận án định nghĩa và phân tích các không gian Lebesgue và không gian Sobolev thích hợp với biến thời gian. Đặc biệt quan tâm đến không gian HL^p trong bối cảnh parabolic. Các tính chất nội suy và nhúng của các không gian này được khảo sát. Việc lựa chọn không gian hàm đúng đắn là yếu tố quyết định cho việc thiết lập các ước lượng. Nó đảm bảo tính hợp lệ của các phương pháp giải quyết bài toán.
4.2. Bài toán biên cổ điển cho GVP parabolic
Nghiên cứu bắt đầu với bài toán biên cổ điển cho phương trình giả vi phân parabolic trên nửa trụ vô hạn. Đây là trường hợp cơ bản để xây dựng lý thuyết. Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu được thiết lập rõ ràng. Luận án chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nghiệm. Các ước lượng năng lượng và tính trơn của nghiệm được thiết lập. Kết quả này cung cấp một khuôn khổ vững chắc. Nó là nền tảng để tiếp cận các bài toán biên không cổ điển phức tạp hơn. Việc phân tích trên miền vô hạn cũng đưa ra nhiều hiểu biết sâu sắc.
4.3. Phương pháp giải bài toán biên nửa tuyến tính
Bài toán biên không cổ điển cho phương trình giả vi phân parabolic nửa tuyến tính được giải quyết. Yếu tố phi tuyến và sự phụ thuộc vào thời gian làm tăng độ phức tạp. Luận án phát triển các phương pháp giải quyết đặc thù. Có thể bao gồm các kỹ thuật xấp xỉ liên tiếp hoặc điểm bất động. Mục tiêu là chứng minh sự tồn tại của nghiệm. Các kết quả này mở rộng đáng kể lý thuyết về phương trình giả vi phân. Chúng cung cấp các công cụ mới để phân tích các mô hình tiến hóa phi tuyến trong không gian HL^p. Việc hiểu rõ hành vi của nghiệm là rất quan trọng cho các ứng dụng thực tế.
V.Đóng góp chính và hướng nghiên cứu tương lai luận án
Luận án tổng kết các đóng góp chính và đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo. Nghiên cứu đã thành công trong việc giải quyết nhiều lớp bài toán biên giả vi phân mới. Đặc biệt là trong không gian HL^p và cả cho phương trình elliptic lẫn parabolic, bao gồm cả dạng tuyến tính và nửa tuyến tính. Các kết quả có ý nghĩa lý luận và thực tiễn quan trọng. Chúng làm sâu sắc thêm hiểu biết về toán tử giả vi phân và ứng dụng của chúng. Luận án mở ra nhiều cơ hội cho các nghiên cứu tiếp theo. Các hướng phát triển mới được gợi ý, nhằm giải quyết các thách thức còn tồn tại. Đây là bước tiến quan trọng trong lĩnh vực Giải tích điều hòa và phương trình vi phân đạo hàm riêng.
5.1. Tóm tắt các kết quả nghiên cứu đạt được
Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán biên cổ điển và không cổ điển. Các kết quả này được thiết lập cho phương trình giả vi phân elliptic và parabolic. Đặc biệt là trong không gian HL^p và các không gian Sobolev liên quan. Các kỹ thuật mới đã được phát triển để xử lý các điều kiện biên phức tạp. Phân tích cả các trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính. Các ước lượng năng lượng và tính trơn của nghiệm cũng được thiết lập. Những đóng góp này làm phong phú lý thuyết về toán tử giả vi phân.
5.2. Các đề xuất cho hướng nghiên cứu tiếp theo
Dựa trên các kết quả đạt được, luận án đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo. Một hướng là mở rộng các bài toán biên giả vi phân sang các không gian hàm khác. Có thể là các không gian Lebesgue suy rộng hoặc các không gian trọng số. Nghiên cứu các phương trình giả vi phân với toán tử giả vi phân có cấp không nguyên. Khảo sát các bài toán biên trên các miền có biên không trơn. Phát triển lý thuyết cho phương trình giả vi phân hyperbolic. Việc ứng dụng các kỹ thuật này vào các mô hình vật lý phức tạp cũng là một hướng đầy tiềm năng.
Mục lục chi tiết luận án
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (127 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộMôc lôc Trang phô b×a. 1 Lêi cam ®oan. 3 Danh môc c¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t. 9 Ch−¬ng 1 Tæng quan 15 1.1 Bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n elliptic .2 Bµi to¸n biªn cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh parabolic.
22 Ch−¬ng 2 Bµi to¸n biªn cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP elliptic 30 2.1 Kh«ng gian hµm .2 To¸n tö gi¶ vi ph©n (GVP) trong Rn .3 Bµi to¸n biªn trªn nöa kh«ng gian Rn+ .4 Bµi to¸n biªn trªn miÒn bÞ chÆn. 47 Ch−¬ng 3 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh elliptic 62 3.1 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP elliptic tuyÕn tÝnh .2 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP elliptic nöa tuyÕn tÝnh. 82 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch−¬ng 4 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh parabolic 88 4.1 Kh«ng gian hµm .2 Bµi to¸n biªn cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP parabolic trªn nöa trô v« h¹n .3 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP parabolic tuyÕn tÝnh trªn nöa trô v« h¹n .4 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP parabolic nöa tuyÕn tÝnh trªn nöa trô v« h¹n. 114 KÕt qu¶ vµ bµn luËn 122 KÕt qu¶ nghiªn cøu vµ bµn luËn.
124 KiÕn nghÞ vÒ nh÷ng nghiªn cøu tiÕp theo. 125 Danh môc c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n. 126 Tµi liÖu tham kh¶o. 127 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Danh môc c¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t N = {1, 2,.
} : tËp sè tù nhiªn, Z : tËp sè nguyªn, Z+ = {m ∈ Z | m ≥ 0} : tËp c¸c sè nguyªn kh«ng ©m. , n} : tËp c¸c ®a Pn chØ sè vµ víi α ∈ Zn+ ký hiÖu |α| = αj. j=1 √ R : tËp sè thùc, C : tËp sè phøc. Víi mçi z ∈ C ký hiÖu =z lµ phÇn ¶o, <z lµ phÇn thùc.
Víi mçi p ∈ R, 1 < p < +∞, sè p0 lµ sè ®èi ngÉu cña p, nghÜa lµ 1p + p10 = 1. Víi mçi a ∈ R, ký hiÖu [a] lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng lín h¬n a. , n} lµ kh«ng gian thùc Pn 1 n−chiÒu víi chuÈn Euclid ||x|| = x2j 2 j=1 P n vµ tÝch v« h−íng hx, yi = xj y j. , xn ) ∈ Rn | xn > 0}, R̄n+ = {x = (x1, x2 ,.
, xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0}. NÕu kh«ng cã g× ®Æc biÖt, ký hiÖu Ω lµ tËp më trong Rn. Víi mçi k ∈ Z+ ký hiÖu c¸c tËp nh− sau: C k (Ω) = {u : Ω → C u kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k}, liªn tôc C(Ω) = C 0 (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω) supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), C k,1 (Ω) = {u ∈ C k (Ω) ®¹o hµm riªng cÊp k cña u lµ hµm Lipschitz}, C ∞ (Ω) = ∩∞ k ∞ ∞ k k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), C0∞(R̄n+ ) = {u : R̄n+ → C cã hµm lu ∈ C0∞(Rn ) mµ lu|R̄n+ = u}, trong ®ã, supp u = cl{x ∈ Ω u(x) 6= 0}. 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Víi mçi sè thùc 1 ≤ p < ∞, ký hiÖu Z ®® −→ C Lp (Ω) = {u : ΩLebesgue |u(x)|p < +∞}, Ω lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch cÊp p trªn Ω víi chuÈn Z 1 ||u||Lp(Ω) = |u(x)|p p , Ω víi p = ∞, ký hiÖu ®® −→ C ess sup |u(x)| < +∞}, L∞ (Ω) = {u : ΩLebesgue x∈Ω lµ kh«ng gian c¸c hµm bÞ chÆn hÇu kh¾p n¬i trªn Ω víi chuÈn ||u||L∞(Ω) = ess sup |u(x)|, x∈Ω trong ®ã, ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > 0 m{x ∈ Ω |u(x)| > M } = 0}.
Víi mçi 1 ≤ p ≤ ∞, 0 ≤ s ký hiÖu c¸c kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω). Víi s ∈ Z+ , kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) D αu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ s} víi chuÈn X 1 ||u||Ws,p(Ω) = ||D αu||pLp (Ω) p , khi p < ∞, |α|≤s ||u||Ws,∞(Ω) = max ||D αu||L∞ (Ω) , khi p = ∞, |α|≤s ∂ trong ®ã, D α = D1α1. i ∂xj Víi s 6∈ Z+ , kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) ®−îc ®Þnh nghÜa b»ng phÐp néi suy. Khi p = 2, ®Ó ®¬n gi¶n ta ký hiÖu Hs (Ω) = Ws,2 (Ω).
PhÐp biÕn ®æi Fourier trong Rn Z − n2 Fn u(ξ) = (2π) e−ihx,ξi u(x)dx. Rn PhÐp biÕn ®æi Laplace Z +∞ − 12 Lu(q) = (2π) e−qt u(t)dt, q ∈ C, <q ≥ 0. 0 To¸n tö GVP: to¸n tö gi¶ vi ph©n. 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Më ®Çu Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®−îc nghiªn cøu ®Çu tiªn trong c¸c c«ng tr×nh cña Euler, d'Alembert, Lagrange vµ Laplace nh− mét c«ng cô chÝnh ®Ó m« t¶ c¬ häc còng nh− lµ m« h×nh gi¶i tÝch cña vËt lý.
Cho ®Õn giê, m« h×nh gi¶i tÝch cña vËt lý vÉn lµ mét trong nh÷ng yÕu tè c¬ b¶n trong sù ph¸t triÓn cña Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng. Vµo gi÷a thÕ kû 19, ®Æc biÖt víi c«ng tr×nh cña Riemann, Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®· chøng tá lµ mét c«ng cô thiÕt yÕu cña nhiÒu ngµnh to¸n häc. Cuèi thÕ kû 19, H. Poincare ®· chØ ra mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng vµ c¸c ngµnh to¸n häc kh¸c.
Sang thÕ kû 20, Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ph¸t triÓn m¹nh mÏ nhê c«ng cô Gi¶i tÝch hµm. §Æc biÖt khi Lý thuyÕt hµm suy réng ®−îc x©y dùng bëi S. Schwartz ®−îc kÕt hîp víi Gi¶i tÝch Fourier nhiÒu bµi to¸n ®· ®−îc gi¶i quyÕt. Ch¼ng h¹n bµi to¸n biªn elliptic tuyÕn tÝnh ®−îc gi¶i quyÕt kh¸ trän vÑn (cã thÓ xem trong c«ng tr×nh cña M.
B»ng lý thuyÕt nöa nhãm cïng c¸c kÕt qu¶ tõ to¸n tö elliptic, mét sè líp bµi to¸n parabolic, cßn ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh tiÕn hãa, còng ®· ®−îc nghiªn cøu bëi E. Bµi to¸n hyperbolic còng ®· cã ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ ®Ñp qua c¸c c«ng tr×nh cña I. Hormander (xem trong [26]), c¸c c«ng tr×nh vÒ to¸n tö hyperbolic cña I. Petrovski nh− mét ®iÒu dù b¸o vÒ sù ra ®êi cña Lý thuyÕt to¸n tö Gi¶ vi ph©n, mét trong nh÷ng c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng kh«ng chØ tuyÕn tÝnh mµ c¶ víi phi tuyÕn.
Lý thuyÕt to¸n tö GVP lµ sù ph¸t triÓn cña Lý thuyÕt tÝch ph©n kú dÞ kÕt hîp víi Gi¶i tÝch Fourier. TÝch ph©n kú dÞ, ch¼ng h¹n tÝch ph©n víi nh©n Poisson hay biÕn ®æi Hilbert, biÕn ®æi Riesz, ®−îc nghiªn cøu tõ l©u bëi nhiÒu t¸c gi¶ nh− Poisson, D., nh−ng cã lÏ ph¶i ®Õn c¸c c«ng tr×nh cña 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mikhlin vµ sau ®ã lµ c¸c häc trß cña A. Stein, nã b¾t ®Çu trë thµnh mét c«ng cô thùc sù trong viÖc nghiªn cøu Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng.
Lý thuyÕt tÝch ph©n kú dÞ kÕt hîp víi Gi¶i tÝch Fourier tiÕp tôc ®−îc J. Hormander ph¸t triÓn thµnh Lý thuyÕt to¸n tö GVP. Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ ®Ñp dùa mét phÇn trªn Lý thuyÕt to¸n tö GVP lµ §Þnh lý vÒ chØ sè Atiyah- Singer, sù giao thoa gi÷a nhiÒu ngµnh to¸n häc Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng, Lý thuyÕt T«p«- §¹i sè, Lý thuyÕt H×nh häc- §¹i sè. Dùa vµo Lý thuyÕt to¸n tö GVP, F.
Cïng víi nhiÒu c«ng tr×nh tr−íc ®ã cña L. Dencker ([12], [13], [14]) míi gi¶i quyÕt trän vÑn bµi to¸n vÒ tÝnh gi¶i ®−îc ®Þa ph−¬ng cho to¸n tö GVP kiÓu chÝnh. Mét kÕt qu¶ lý thó kh¸c vÒ tÝnh subelliptic, tÝnh chÊt n»m gi÷a elliptic vµ hyperbolic, lµ Yu. Egorov ®· ®−a ra ®−îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét to¸n tö GVP lµ subelliptic.
KÕt qu¶ nµy ®−îc b¾t nguån tõ c«ng tr×nh viÕt chung víi V. Kondratiev vÒ bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng. Khi kh¶o s¸t mét vµi líp bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng cô thÓ b»ng c¸ch chuyÓn thµnh to¸n tö GVP cïng víi sù nghiªn cøu c¸c kÕt qu¶ tr−íc ®ã cña L. Egorov ®· t×m ra ®−îc phÐp biÕn ®æi chÝnh t¾c, råi tõ ®ã ®i ®Õn ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét to¸n tö GVP lµ subelliptic.
Bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng, nghÜa lµ bµi to¸n biªn cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2, ch¼ng h¹n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = f , víi ®iÒu kiÖn biªn ®¹o ∂u hµm nghiªng = g trong miÒn Ω bÞ chÆn trong kh«ng gian cã sè chiÒu ∂ν ∂Ω kh«ng nhá h¬n 3, víi biªn tr¬n ∂Ω, theo Yu. Kondratiev ®−îc ®Æt ra bëi H. Tuy nhiªn, cho ®Õn tr−íc n¨m 1963, bµi to¸n ∂ ®¹o hµm nghiªng chØ ®−îc xÐt khi tr−êng vÐc-t¬ Dν = kh«ng tiÕp xóc ∂ν 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Ph¶i ®Õn c«ng tr×nh [6] cña A.
Bisadze, n¨m 1963, bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng míi ®−îc xÐt khi tr−êng vÐc-t¬ Dν tiÕp xóc víi biªn, cô thÓ A. Bisadze xÐt bµi to¸n biªn cho ph−¬ng tr×nh Laplace trong h×nh cÇu B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 ≤ 1} trong kh«ng gian 3 chiÒu víi ®iÒu kiÖn biªn trªn mÆt cÇu S = {(x1, x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1} ∂u ∂u ∂u (x1 − a) + x2 + x3 = g, ∂x1 ∂x2 ∂x3 trong ®ã a ∈ R lµ h»ng sè. ∂ ∂ ∂ Khi |a| > 1, tr−êng vÐc-t¬ (x1 − a) , x2 , x3 tiÕp xóc víi biªn ∂x1 ∂x2 ∂x3 1 a2 − 1 trªn ®−êng trßn c = {(x1, x2 , x3 ) ∈ S | x1 = , x22 + x23 = } trªn mÆt a a2 cÇu S. §Ó thuËn tiÖn cho viÖc ph¸t biÓu sau nµy, chóng t«i gäi bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng mµ tr−êng vÐc-t¬ ®¹o hµm nghiªng tiÕp xóc víi biªn lµ bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn ph©n biÖt víi c¸c bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng ®−îc tr−íc n¨m 1963.
ViÖc nghiªn cøu bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn gÆp nhiÒu khã kh¨n. Mét trong nh÷ng khã kh¨n lµ lo¹i bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn nµy kh«ng tháa m·n §iÒu kiÖn Shapiro- Lopatinski nh− c¸c bµi to¸n biªn Dirichlet, Neuman hay c¸c bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng cæ ®iÓn. Chóng t«i còng xin ®−îc gäi bµi to¸n biªn kh«ng tháa m·n §iÒu kiÖn Shapiro- Lopatinski lµ bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®Ó ph©n biÖt víi bµi to¸n biªn tháa m·n §iÒu kiÖn Shapiro- Lopatinski. Sau c«ng tr×nh [6], A.
Bisadze vµ nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c nh− R. Mazya, NguyÔn Minh Ch−¬ng, Lª Quang Trung,. , còng cã nh÷ng kÕt qu¶ lý thó vÒ bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Trích dẫn luận án này
Luận án tiến sĩ: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p (n.d.) [Luận án tiến sĩ]. LuanAn.net. https://luanan.net/toan-hoc/giai-tich/luan-an-tien-si-bai-toan-bien-gia-vi-phan-khong-gian-hl-p
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Luận án tiến sĩ: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ nghiên cứu bài toán biên giả vi phân trong không gian HL P P khác 2, đề xuất phương pháp mới để giải quyết vấn đề này.
Luận án "Luận án tiến sĩ: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p" có bao nhiêu trang?
Luận án "Luận án tiến sĩ: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p" có 127 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Luận án tiến sĩ: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HL^p" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.