Luận án nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể

Tính cấp thiết, ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài: Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò rất quan trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như kéo dài tuổi thọ của các công trình, máy móc. Hạn chế hay loại bỏ những dao động không mong muốn, hoặc tạo ra một mức độ dao động mong muốn là những mục tiêu chung của kỹ thuật dao động. Để nghiên cứu các hiện tượng dao động, cần phải mô tả chúng bằng các phương trình toán học, theo đó, các hệ dao động được gọi là tuyến tính hay phi tuyến tùy theo phương trình vi phân mô tả dao động ấy là tuyến tính hay phi tuyến. Hầu hết các bài toán dao động đều liên quan đến việc xác định chuyển động của một hệ gây ra bởi tải trọng kích động.

Nếu tải trọng thay đổi điều hòa hay chu kỳ, hoặc theo một cách nào đó mà được mô tả đầy đủ như là một hàm của thời gian (và vị trí) và nếu vị trí hay chuyển động ban đầu của hệ được biết thì đáp ứng của hệ ở một thời điểm tùy ý sẽ hoàn toàn được xác định. Loại dao động như vậy được gọi là dao động tiền định. Trong dao động ngẫu nhiên, kích động thay đổi có tính chất ngẫu nhiên (bất thường) và gây ra các đáp ứng cũng thay đổi bất thường làm cho các công trình, thiết bị máy móc làm việc không hiệu quả, chóng hư hỏng, hoặc bị phá hủy đột ngột. Chẳng hạn như: nhiễu động của gió lên máy bay, tên lửa; tải trọng gió lên công trình cao tầng, tháp, cầu; tác động của sóng biển lên tầu biển, công trình biển; lực do nhấp nhô của mặt đường tác động lên ô tô; tác động của động đất đến các công trình, v.

là các dạng kích động ngẫu nhiên. Về bản chất, giá trị của đại lượng ngẫu nhiên ở một thời điểm bất kỳ là không thể dự báo được, thậm chí nếu có mối liên hệ nào đó giữa cường độ của đại lượng ngẫu nhiên và thời gian mà đo được trong một khoảng thời gian nhất định thì nó cũng không bao giờ lặp lại một cách chính xác ở khoảng thời gian khác. Do đó, các công cụ quen thuộc trong phân tích dao động tiền định sẽ không thể áp dụng được cho dao động ngẫu nhiên. Bởi vậy, việc nghiên cứu dao động ngẫu nhiên bằng các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên có ý nghĩa khoa học và ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật.

Trong hơn nửa thế kỷ qua, đã có những phát triển quan trọng về cơ học ngẫu nhiên và dao động ngẫu nhiên, đặc biệt cùng với sự phát triển và đóng góp quan 2 trọng của kỹ thuật máy tính. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Đối với dao động ngẫu nhiên mà tính chất động lực của cấu trúc được mô hình hóa bằng các phương trình tuyến tính thì các thống kê đáp ứng có thể được phân tích một cách thỏa đáng. Tuy nhiên, trong thực tế, những trường hợp như vậy chỉ là thiểu số, phổ biến hơn cả là các cấu trúc phi tuyến.

Việc phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến là rất khó khăn, phức tạp và chỉ một số trường hợp đặc biệt cho phép nhận được lời giải chính xác. Bởi vậy, cần xây dựng những phương pháp phân tích xấp xỉ dễ ứng dụng hơn và cho phép nhận được kết quả có độ chính xác hợp lý. Về cơ bản, có thể phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ như sau: i) Nhóm các phương pháp giải tích (tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương, trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss và đóng không Gauss, hàm mật độ xác suất xấp xỉ, phương pháp nhiễu, khai triển chuỗi); ii) Nhóm các phương pháp số (Runge Kutta, phần tử hữu hạn,.); iii) Mô phỏng Monte Carlo; iv) Các phương pháp thực nghiệm. Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do.

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9] , [10] để phân tích các hệ dao động ngẫu nhiên. Nội dung của phương pháp dựa trên sự thay thế phương trình phi tuyến của hệ bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng một kích động ngẫu nhiên. Các hệ số tuyến tính hóa tương đương nhận được theo tiêu chuẩn cực tiểu hóa sai số bình phương trung bình giữa phương trình phi tuyến gốc và phương trình tuyến tính tương đương. Đây là một phương pháp hữu hiệu đối với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu.

Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát triển những tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số. Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24]. Anh và Di Paola đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) 3 [15] dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của đáp ứng của hệ xuất hiện nhiều nhất. Tiêu chuẩn này đã được Tiến sĩ Lưu Xuân Hùng phát triển trong luận án tiến sĩ [7].

Độ chính xác của phương pháp này được cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền thống của Caughey. Có thể thấy được ưu điểm của LOMSEC là: Trước hết, bằng cách thay đổi miền lấy tích phân tiêu chuẩn LOMSEC tạo ra hàng loạt lời giải xấp xỉ; trong đó, lời giải theo tiêu chuẩn kinh điển chỉ là một trường hợp đặc biệt khi miền tích phân là vô cùng; thứ hai LOMSEC cũng chứa đựng sự tồn tại của một miền tích phân mà về nguyên tắc cho phép nhận được lời giải chính xác, trong khi điều này là không thể đối với tiêu chuẩn kinh điển. Tuy nhiên, nhược điểm chính của LOMSEC là: đối với một hệ phi tuyến bất kỳ, miền tích phân khu vực phù hợp (giá trị r) lại là một ẩn số, vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra ẩn số này. Gần đây, quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến [20] và đã được phát triển trong [21-24].

Một ưu điểm quan trọng của quan điểm đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau của một vấn đề, điều này cho phép nghiên cứu trở nên phù hợp hơn. Năm 2012, dựa trên quan điểm đối ngẫu, N. Việt [24] đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho các hệ ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (SDOF) bằng cách kết hợp hai phạm vi địa phương và tổng thể. Những giá trị mới thu được của các hệ số tuyến tính hóa là giá trị trung bình trên tổng thể của tất cả các hệ số tuyến tính hóa địa phương.

Trước đây, hệ SDOF có thể được sử dụng làm mô hình toán học khi khảo sát một số hệ, nhưng hiện nay, hệ nhiều bậc tự do (MDOF) phải được sử dụng trong hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên. Đây chính là cơ sở hình thành ý tưởng của luận án, đó là: áp dụng quan niệm đối ngẫu để khắc phục nhược điểm đã nêu của LOMSEC, phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error 4 Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự do (MDOF). Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên.

Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các hệ dao động phi tuyến thường gặp trong các lĩnh vực kỹ thuật với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, một bậc tự do và nhiều bậc tự do chịu kích động ồn trắng và ồn màu. Đại lượng được quan tâm chủ yếu là mô men bậc hai của đáp ứng. Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mô phỏng Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể.

Cụ thể là: dựa trên nhược điểm còn tồn tại của tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (chưa khép kín về mặt giải tích khi xác định giá trị các hệ số tuyến tính hóa khu vực), kết hợp với quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa, làm cơ sở để xây dựng tiêu chuẩn mới. Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm nghiệm mô phỏng các dao động phi tuyến làm cơ sở để đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa. Bố cục của luận án Luận án có bố cục gồm phần Mở đầu và 4 chương, phần Kết luận; Danh mục các công bố của luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục.

Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương 5 pháp bao gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu.

Đặc biệt, trong luận án sẽ tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ một bậc tự do.