Luận án hàm phân hình giá trị Fréchet - Nghiên cứu lý thuyết thế vị phức và bất biến tôpô tuyến tính

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU. 6 THÁC TRIỂN HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRESCHET TỪ CÁC TẬP ĐẶC BIỆT TRONG n .2 Hàm phân hình xác định trên tập mở với giá trị trong không gian Fréchet có chuẩn liên tục.3 Hàm phân hình xác định trên tập compact -chính qui với giá trị không gian Fréchet có (DN)-chuẩn.4 Hàm phân hình xác định trên tập compact kiểu duy nhất với giá trị trong không gian Fréchet có (LB ) -chuẩn.5 Hàm phân hình xác định trên tập compact không đa cực với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn. 44 THÁC TRIỂN HÀM GIẢI TÍCH THỰC GIÁ TRỊ FRÉSCHET TỪ CÁC TẬP MỞ .2 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn.3 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có ( -chuẩn. Về các không gian Fréchet có (DN), ( (LB)-chuẩn.

60 TÍNH CHẤT (), ( CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN CÁC MẦM HÀM CHỈNH HÌNH. Cấu trúc (Ω) của không gian các mầm hàm chỉnh hình. Các ánh xạ riêng, toàn ánh chỉnh hình và các tính chất ( , ( của không gian các mầm hàm chỉnh hình. 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO.

82 1 PHẦN MỞ ĐẦU Bài toán thác triển hàm chỉnh hình và phân hình là một trong các bài toán quan trọng của giải tích phức. Đặc biệt, mối liên hệ giữa sự thác triển và thác triển yếu của các hàm chỉnh hình, phân hình giá trị vectơ trên các tập mở và compact đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Siciak (1974) [42] từ một số kết quả của lý thuyết thế vị phức đã chứng minh rằng một hàm xác định trên một tập X compact chính qui, lồi đa thức trong Cn, có giá trị trong không gian Banach F nếu có thác triển chỉnh hình yếu thì có thác triển chỉnh hình lên một lân cận của tập X. Gần nhƣ đồng thời, Waelbroeck (1974) [50], bằng cách áp dụng định lý ánh xạ mở, đồ thị đóng đã chứng minh kết quả trên vẫn đúng nếu chỉ giả thiết X là tập compact kiểu duy nhất trong Cn, không nhất thiết đòi hỏi X là lồi đa thức và chính qui.Tác (1990) [28] đã mở rộng kết quả trên cho X là tập compact trong không gian vectơ mêtric hạch.

Đối với bài toán thác triển phân hình, L.Nga (1993) [22] chứng minh đƣợc rằng mọi hàm phân hình có thác triển yếu trên các tập mở, compact với giá trị trong không gian Banach sẽ có thác triển phân hình. 2 Khác căn bản với các tác giả trên chỉ giới hạn xét trƣờng hợp miền giá trị là không gian Banach hoặc tổng quát hơn có đối ngẫu là không gian Baire, trong luận án này khi xét không gian giá trị F của các hàm chỉnh hình, phân hình với F’ không nhất thiết là không gian Baire, đặc biệt khi F là không gian Fréchet, chúng tôi đã thấy rằng sự tƣơng đƣơng giữa tính thác triển và thác triển yếu liên hệ mật thiết với cấu trúc hệ nửa chuẩn xác định tôpô của không gian giá trị. Đặc biệt, khi xét các không gian Fréchet có tính chất (DN), (LB) (các tính chất này đƣợc giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt vào những năm 80) là không gian giá trị n của các hàm phân hình xác định trên các tập compact X của , chúng tôi chứng minh đƣợc rằng sự thác triển phân hình yếu sẽ dẫn đến sự thác triển phân hình nếu tập hợp X là các tập hợp đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức nhƣ tập ̃ -chính qui, tập không đa cực. Trƣờng hợp F là không gian Fréchet có chuẩn liên tục, chúng tôi chỉ ra rằng kết n quả trên đúng với mọi tập mở trong.

Lƣu ý rằng sự thỏa mãn các điều kiện (DN) và (LB ) là cần thiết để có thể nhận đƣợc thác triển chỉnh hình hay phân hình từ thác triển yếu. Luận á n gồm ba chƣơng trong đó sự thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet từ n các tập đặc biệt trong , đƣợc trình bày trong chƣơng 1. Chƣơng 2 của luận á n đƣợc dành để phát biểu và chứng minh các định lý về sự thác triển giải tích của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ 3 các tập mở của không gian Fréchet với giá trị thuộc các không gian Fréchet thỏa tính chất (DN), Không nhƣ trƣờng hợp chỉnh hình vốn đƣợc nghiên cứu khá đầy đủ và sâu sắc bởi Bagdanovics [3], [4], [5], [6], Nachbin [36], [37], Nguyễn Thanh Vân [ 45 ], trƣờng hợp giải tích thực phức tạp hơn. Năm 1972, Ligocka-Siciak [31] chứng minh đƣợc rằng nếu một hàm giải tích thực mà có thác triển giải tích yếu từ một tập mở của không gian Fréchet E với giá trị thuộc không gian lồi địa phƣơng đủ dãy F với F’ Baire thì hàm này có thác triển giải tích.

Trong chƣơng 2 kết quả này đƣợc chúng tôi xét cho trƣờng hợp E là không gian hữu hạn chiều còn F có tính chất (DN) hoặc E vô hạn chiều và F là không gian Fréchet có tính chất ̅̅̅̅̅̅̅ Việc nghiên cứu các tập compact L-chính qui, ̃ -chính qui, tập không đa cực… của lý thuyết thế vị phức liên quan mật thiết với cấu trúc của không gian các mầm hàm chỉnh hình trên các tập compact đó. n Với X là tập compact trong , Zaharjuta [51] chứng minh đƣợc rằng X là L- chính qui khi và chỉ khi [ ̅ Tính chất () của có tính chất ( với X là tập compact trong không gian Fréchet hạch (tƣơng ứng không gian Fréchet Schwartz) đƣợc nghiên cứu bởi Meise và Vogt [34] (tƣơng ứng bởi Nguyễn Văn Khuê và Phan Thiện Danh [7]) và đã đóng vai 4 trò quan trọng khi nghiên cứu sự thác triển chỉnh hình từ một tập compact trong E có tính chất () với giá trị trong không gian loại Mở rộng kết quả trên cho trƣờng hợp X là tập compact trong không gian phức trong phần đầu chƣơng 3 chúng tôi trình bày các định lý liên quan đến tính chất () của và / A(X)]’ ̅ ), ( Bằng cách đặc trƣng các tính chất (  ̃ qua các hàm đa điều hòa dƣới cực trị trên các không gian Stein, trong phần cuối chƣơng 3 chúng tôi chứng minh rằng các ̅ ), ( tính chất (  ̃ của không gian là bất biến qua các ánh xạ riêng toàn ánh chỉnh hình giữa các không gian Stein. Cũng nhƣ tính chất (DN), (LB), ở đây tính chất (̅̅̅̅ , (),(  ̅ ), ( ̃ … đƣợc giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt. Các kết quả chúng tôi trình bày trong luận án này đƣợc báo cáo chi tiết trong hội thảo "Giải tích và ứng dụng" của Trung tâm giải tích phức và giải tích hàm Đại học sƣ phạm Hà Nội ngày 20, 21 tháng 09 năm 1996 và trong "Hội thảo Pháp - Việt về Toán học" đƣợc tổ chức tại thành phố Hồ Chí Minh từ 03 đến 08 tháng 03 năm 1997.

Các kết quả trên đƣợc công bố trong các công trình [10], [ 1 1 ] , [13], [14], [15], [16] và đƣợc nhận công bố trong công trình [9]. Luận á n đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của GS.TS Nguyễn Văn Khuê và PTS Lê Hoàn Hóa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những ngƣời thầy của mình. 5 Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.

Hà Huy Khoái, PGS. Lê Mậu Hải đã đọc kỹ bản luận á n và giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm và các đồng nghiệp ở Khoa Toán, Phòng quản lý nghiên cứu khoa học trƣờng Đại học sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh, Thƣ viện khoa học tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh, PGS. Nguyễn Trọng Khâm đã động viên giúp đỡ tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài.

6 CHƢƠNG 1 THÁC TRIỂN HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRESCHET TỪ CÁC n TẬP ĐẶC BIỆT TRONG. n Xét X là tập con của , F là một không gian lồi địa phƣơng đủ dãy. Một hàm f xác định trên một tập con mở trù mật Xo của X với giá trị trong F đƣợc gọi là hàm phân hình trên X nếu nó có thể đƣợc thác triển đến một hàm phân n hình trên một lân cận của X trong. Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận U của X và một hàm phân hình ̂ trên U sao cho X\P( ̂ ) là trù mật trong X và với , ở đây ký hiệu tập cực của Trong trƣờng hợp điều này đúng đối với với mọi , đối ngẫu của F, chúng ta nói f là hàm phân hình yếu trên X.

Giả sử (X,F) và w (X,F) lần lƣợt là các không gian vectơ các hàm phân hình và phân hình yếu trên X với giá trị trong F. Trong chƣơng này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ để đẳng thức sau đây đúng (*) (X,F) = w (X,F) Trƣờng hợp F là không gian Banach và X là tập mở hoặc compact đẳng thức này đƣợc chứng minh đúng bởi L. Tổng quát hóa khi F’là không gian Baire đẳng thức vẫn đúng. 7 Bây giờ, ta xét miền giá trị của các hàm phân hình, phân hình yếu là không gian F với F' không Baire, đặc biệt với F là không gian Fréchet và tìm điều kiện cần và đủ để đẳng thức (*) đúng.

Khi F là lớp không gian Fréchet có chuẩn liên tục, trong [20] L. Hải đã chứng minh kết quả “Đẳng thức (*) đúng với mọi tập mở X trong nếu và chỉ nếu F là không gian Fréchet có chuẩn liên tục".2 chúng tôi mở rộng kết quả này n trong trƣờng hợp X là tập mở trong. n Khi xét X là tập con compact trong và F là không gian Fréchet có (DN)- chuẩn, (LB) -chuẩn, chúng tôi nhận thấy điều kiện đẳng thức (*) đúng lại liên quan đến các tập đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức. Kết quả chính đƣợc trình bày trong mục 1.3 là định lý “Đẳng thức (*) đúng với mọi tập X compact ̃ - chính qui nếu và chỉ nếu F là không gian Fréchet có (DN)- chuẩn".

Khái niệm về tập ̃ - chính qui cùng một số ví dụ về nó cũng đƣợc trình bày trong mục này. Bằng cách thay giả thiết của tập X compact ̃ -chính qui bởi giả thiết yếu hơn đồng thời thu hẹp lớp không gian giá trị các hàm phân hình này chúng tôi chứng minh đẳng thức (*) vẫn đúng. Cụ thể, trong mục 1.4 kết quả sau đƣợc chứng minh "Đẳng thứ (X,[F’ bor ]’) = w (X,[F’ bor ]’) đúng với mọi tập compact kiểu duy nhất X trong n nếu và chỉ nếu [F’bor]’ là không gian có (LB) -chuẩn".