Luận án định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số bài toán biên phi tuyến - Nghiên cứu phương pháp Galerkin, compact yếu và toán tử đơn điệu

1 Tổng quan PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phƣơng pháp tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận. nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,. Bản luận án ngoài chƣơng mở đầu ra sẽ đƣợc chia thành 4 chƣơng.

Trong chƣơng 1 - 2 chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ để khảo sát các bài toán liên quan đến phƣơng trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chƣơng 3-4 dành cho việc khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ dị. ■ Trong chƣơng 1, chúng tôi khảo sát bài toán trong đó R n là một tập mở bị chận có biên đủ trơn, là pháp tuyến đơn vị hƣớng ra ngoài biên là hằng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u 1 là các hàm cho trƣớc. Các giả thiết đặt ra cho các hàm nay sẽ 2 Tổng quan đƣợc chỉ ra sau. Trong phƣơng trình (0.1) số hạng phi tuyến B( ‖ ‖ )2 phụ thuộc vào và thỏa điều kiện B là hàm liên tục xác định trên R + = [0,+∞); (0.6) Trong trƣờng hợp một chiều n = 1, Ω = (0, L), phƣơng trình (0.1) đƣợc tổng quát hóa từ phƣơng trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi (xem Caƣier [9] ).

ở đây u là độ võng, là khối lƣợng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu. Khi f = 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phƣơng trình (0.1) đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả ; Xem : Aassila [4, 5, 6], Ebihara, Medeiros và Miranda [15], Pohozaev [36], Yamada [38] và các tài liệu tham khảo ở đó.4) với = 0, số hạng f = f(u,ut) (tuyến tính hay phi tuyến) cũng đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng cụ thể khác nhau. Chẳng hạn nhƣ: K. Nishihara [31], [32], [33] với f = f(ut) = ut , 0 là hằng số cho trƣớc; Medeiros [28] đã nghiên cứu 3 Tổng quan bài toán (0.4) với f = f(u) = u2 , Ω là một tập mở bị chận của R3.

Hosoya & Yamada đã xét trong [16] với f = f(u) = | | u, và trong [17] với f = f( u , u t ) = δ | | trong đó δ > 0, α ≥ 0 l à các hằng số cho trƣớc.4) và Trong đó trong đó ε > 0 là hằng số. Trong trƣờng hợp nay, bài toán (0.4) mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh. Trong [36], Pohozaev đã xét phƣơng trình hyperbolic á tuyến tính sau đây: t r o n g đó hà trong đó hàm số B thỏa điều kiện sau đây mạnh hơn (0.7): Trong [26] Long và các tác giả khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình sau trong đó λ > 0, s > 0, 0 < α < 1 là các hằng số cho trƣớc. Bằng sự tổng quát hóa của [14], [26], chúng tôi đã xét trong {1} phƣơng trình sau: 4 Tổng quan Trong chƣơng nay chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và phƣơng pháp compact yếu kết hợp với phƣơng pháp toán tử đơn điệu để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.4) đối với điều kiện (0.

Sau đó một số dạng cụ thể cho số hạng phi tuyến f(u,ut)cũng đƣợc xem xét. Kết quả này đã tổng quát hóa tƣơng đối kết quả tƣơng tự trong [14], [26],[36] và đƣợc công bô"trong {1}. Phần cuối của chƣơng nẩy, chúng tôi khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu sau Ta chú ý rằng bài toán (0.4) là trƣờng hợp riêng của bài toán trong (0.19) khi trong đó lấy p = 2. vẫn với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự cùng với sự điều chỉnh thích hợp trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu đƣợc kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.19) đối với các điều kiện (0.

Kết quả nay đã tổng quát hóa tƣơng đối kết quả tƣơng tự trong {1}, [14], [26], [36]. ■ Trong chƣơng 2, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm (u,P) thỏa 5 Tổng quan trong đó u0,u1, f là các hàm cho trƣớc thỏa một số điều kiện nào đó sẽ đƣợc chỉ ra sau đó, ẩn hàm u(x,t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa phƣơng trình tích phân phi tuyến sau đây: trong đó g, H, k là các hàm cho trƣớc. Trong [3], Áng và Alain Phạm đã thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (0.23) với u 0 , u 1 ,P là các hàm cho trƣớc và Tổng quát hóa kết quả trong [3], Long và Alain Phạm [12], [13], [18], [19] đã xét bài toán (0.23) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại x= 0 có dạng sau đây mà số hạng phi tuyến f(u,ut)chứa trƣờng hợp (0.25) nhƣ là một trƣờng hợp riêng. Chẳng hạn bài toán (0.26) đã đƣợc nghiên 6 Tổng quan cứu ứng với các trƣờng hợp k 0, H(s) = hs, với h > 0 [18]; k 0 [12], [13]; H(s) = hs, với h > 0 [17].

Trong trƣờng hợp H(s) = hs, với h > 0 , b à i toán (0.24) đƣợc thành lập từ bài toán (0.Triều đã nghiên cứu một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán (0.28) với u 0 = u1 = P0 = 0 và với f ( u , u t ) tuyến tính, nghĩa là, f ( u. là các hằng số dƣơng cho trƣớc. Trong trƣờng hợp sau nay, bài toán (0.27) và (028) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Trong trƣờng hợp f ( u , u t ) = | | bài toán (0.28) mô tả sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt.28) ta biểu diễn P(t) theo Po,P1,ω,h,utt(0,t) và sau khi tích phân từng phần, ta đƣợc trong đó 7 Tổng quan Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (0.21) bởi Khi đó, ta đƣa bài toán (0.28) về bài toán (0.

Trong [8], Bergounioux, Long, Alain đã nghiên cứu bài toán (0.24), với giả thiết trong đó K,λ,K1,λ1 là các hằng số không âm cho trƣớc.33) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt. Chƣơng nay đƣợc chia thành hai phần. Trong phần 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán (0. Chứng minh dựa vào phƣơng pháp Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật về tính compact và sự hội tụ yếu.

Khó khăn chính gặp phải trong bài toán nay là điều kiện biên tại x = 0. Ta chú ý rằng phƣơng pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong các bài báo [11],[20],[35] không dùng đƣợc trong [3], [8], [10], [12], [13], [18]. 8 Tổng quan Trong phần 2, chúng tôi chứng minh nghiệm (u,P) của bài toán ổn định đối với các hàm g, H và k .Các kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [1], [3], [8], [12], [13], [18], [19], [27] và đƣợc công bố trong {4}. ■ Trong chƣơng 3, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau : trong đó γ > 0, p ≥ 2 là các hằng số cho trƣớc, f,F,h là các hàm số cho trƣớc và M : (0,1] x R → R thỏa điều kiện Caratheodory và đơn điệu tăng theo biến thứ hai.

Trong trƣờng hợp γ = 0, bài toán (0.37) liên hệ với bài toán uốn một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lƣợng riêng đƣợc nhúng trong một chất lỏng khối lƣợng riêng γ1 mà Tucsnak [37] đã thiết lập trong trƣờng hợp f(x,u) - F(x) = [ ]sinu, trong đó là một hằng số dƣơng, g(x), G(x) là các hàm cho trƣớc có ý nghĩa cơ học nào đó, u(x) là góc giữa tiếp tuyến với thanh ở trạng thái bị uốn tại điểm của thanh có hoành độ cong x và trục thẳng đứng Oy. Trong trƣờng hợp g(x) là hằng số,M(x,u') = M(u')chỉ phụ thuộc vào u ', đơn điệu tăng và đủ trơn, Tucsnak [37] đã nghiên cứu sự phân nhánh của các 9 Tổng quan Phƣơng trình tích phân tƣơng đƣơng với (0.37) phụ thuộc vào tham số λ. trong đo' h1 > 0, h 2 là các hằng số cho trƣớc. Trong [23], [24], Long, Ortiz, Alain đã nghiên cứu phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến sau Trong [23] các tác giả đã chứng minh phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến (0.39) liên kết với điều kiện biên u(0) = 1, u(+∞ ) = 0 có vô số nghiệm.

Ngoài ra bằng kỹ thuật điểm bất động các tác giả trong [24] đã chứng minh rằng phƣơng trình (0.39) liên kết với điều kiện Cauchy: u(0) = 1, u'(0) = có duy nhất nghiệm ] [ ] [ sao cho nghiệm u và các đạo hàm cấp một và cấp hai của nó tiến về zêrô khi x. Trong phần nay, chúng tôi dùng phƣơng pháp Galerkin và compact trong các không gian hàm Sobolev có trọng thích hợp để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.Kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [22],[23],[24],[29],[37] và đƣợc công bố trong {2}, {5}, {6}. ■ Trong chƣơng 4, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến (0.35) và 10 Tổng quan trong đó các hằng s ố γ > 0 , p > 2 , h > 0 , g và các hàm số f, F đƣợc cho trƣớc. Ở chƣơng nầy, bài toán biên phi tuyến ở chƣơng III đƣợc xét với các hàm M(x,u') và h(u) đặc biệt.41) tƣơng ứng với p = 2 đã đƣợc nghiên cứu bởi Nghĩa, Long [29].

Trong phần nay, tƣơng tự nhƣ trong chƣơng III, chúng tôi thiết lập các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong các không gian hàm Sobolev có trọng.