Luận án Giải tích ngẫu nhiên trên không gian Banach và xác suất Banach - Lê Thị Oanh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT BANACH Chuyên ngành : Lí thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số : 9460112.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Đặng Hùng Thắng 2. Tạ Công Sơn XÁC NHẬN CỦA NGƯỜI T/M XÁC NHẬN CỦA CHỦ TỊCH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN HỘI ĐỒNG PGS. Tạ Công Sơn GS.

Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Một số vấn đề của giải tích ngẫu nhiên trên không gian Banach và không gian xác suất Banach là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Đặng Hùng Thắng và PGS. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực. Tất cả những tham khảo đều được trích dẫn và tham chiếu đầy đủ.

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2023 Nghiên cứu sinh Lê Thị Oanh Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Đặng Hùng Thắng và PGS. TS Tạ Công Sơn. Trước tiên, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới hai Thầy, vì những sự động viên, giúp đỡ, tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết luận án này.

Sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của các Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của các Thầy trong học tập để tác giả ngày càng cố gắng và hoàn thiện việc học tập tại trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Phòng Đào tạo của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Hồng Đức, tập thể giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Đại số - Hình học và Bộ môn Giải tích - Phương Pháp Dạy học Toán, Trường Đại Học Hồng Đức đã giúp đỡ, góp ý và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu, tham gia các đại hội, hội thảo Toán học và đặc biệt là trong quá trình viết luận án của mình. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn gia đình đã luôn yêu thương, động viên và hỗ trợ về mặt thời gian, hy sinh về vật chất lẫn tinh thần để giúp tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.

Nghiên cứu sinh Lê Thị Oanh MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu 3 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Toán tử ngẫu nhiên trên không gian Banach khả li .1 Toán tử ngẫu nhiên .2 Kì vọng có điều kiện .3 Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym .2 Không gian xác suất Banach .1 Không gian xác suất Banach và đồng cấu ngẫu nhiên .2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác suất .3 Chuyển động Brown và tích phân Itô. Sự hội tụ của martingale toán tử và sự tồn tại của đa tạp quán tính trung bình bình phương 28 2.1 Sự hội tụ của martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn .1 Giới thiệu bài toán .2 Sự hội tụ của martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn 30 2.2 Đa tạp quán tính trung bình bình phương .1 Giới thiệu bài toán .2 Sự tồn tại và công thức biểu diễn của nghiệm nhẹ .3 Sự tồn tại đa tạp quán tính trung bình bình phương. C-nửa nhóm và bài toán Cauchy trong không gian xác suất Banach 60 3.1 C-nửa nhóm các đồng cấu ngẫu nhiên liên tục trên không gian Banach xác suất .1 Giới thiệu bài toán .2 C- nửa nhóm các đồng cấu ngẫu nhiên liên tục .2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của Bài toán Cauchy đối với C-nửa nhóm bị chặn mũ.

73 Kết luận và kiến nghị 82 Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án 83 Tài liệu tham khảo 84 Chỉ mục 90 2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Z Tập hợp các số nguyên N Tập hợp các số nguyên dương N0 Tập hợp các số nguyên không âm R Tập hợp các số thực Rn Tập hợp các vectơ thực n chiều. X, Y Không gian Banach thực và khả li X Không gian Banach xác suất L(X, Y ) Tập các toán tử tuyến tính, liên tục từ X vào Y. k·k Chuẩn trên không gian Banach X σ(X) σ-đại số Borel của X (Ω, F , P) Không gian xác suất đầy đủ L0 (Ω, K) Tập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên trường K. L0 (Ω) = L0 (Ω, R) Tập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực.

L+ 0 (Ω) Tập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm. LY0 (Ω) Tập các biến ngẫu nhiên Y-giá trị. LX p (Ω) Tập các biến ngẫu nhiên có môdun cấp p. W H Cận trên đúng của tập con H.

V H Cận dưới đúng của tập con H. Card(A) Lực lượng của tập hợp A IE Hàm chỉ tiêu của tập hợp E [x] Phần nguyên của x. D (A) Miền xác định của toán tử A. Aβ Lũy thừa bậc β của toán tử A.

3 Xβ Miền xác định của toán tử Aβ Rn×m Tập hợp các ma trận thực cỡ n × m. In Ma trận đơn vị cấp n. x> Vectơ chuyển vị của vectơ x. A> Ma trận chuyển vị của ma trận A.

kxk Chuẩn của vectơ x. hx, yi Tích vô hướng của hai vectơ x và y. kAk Chuẩn của ma trận A. B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r > 0.

B Hình cầu mở tâm 0 bán kính r = 1. D Bao đóng của tập hợp D. Lí do chọn đề tài Không gian xác suất Banach và lí thuyết toán tử ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong phát triển lí thuyết xác suất. Các khái niệm cơ bản như không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach chỉ là trường hợp riêng của không gian xác suất Banach đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu và mở rộng.

Quan trọng hơn nữa là không gian xác suất Banach và lí thuyết toán tử ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như trong toán tài chính, cơ học, vật lý,. Khái niệm không gian định chuẩn ngẫu nhiên được nêu bởi B.Sklar [51] sau đó được trình bày với một phiên bản mới bởi Tiexin Guo năm 1999 [31] dưới tên là không gian module với chuẩn ngẫu nhiên, với (ε, λ)−tôpô, một tôpô tương thích với hội tụ theo xác suât trong không gian các biến ngẫu nhiên. Đến năm 2009, với nhu cầu của toán tài chính, Damir Filipovic, Michael Kupper, Nicolas Vogelpoth [25] đã trình bày không gian xác suất ngẫu nhiên nhưng với - tôpô lồi địa phương. Ý tưởng về không gian xác suất Banach mới xuất hiện gần đây nhưng đã được quan tâm, chẳng hạn kết quả về vấn đề này: T.Guo đã đưa ra định nghĩa về không gian xác suất Banach và có một số nghiên cứu quan trọng về toán tử ngẫu nhiên và chứng minh một phiên bản của định lý Han-Banach cho trường hợp ngẫu nhiên ([22, 31]).

Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: 5 Một số vấn đề của giải tích ngẫu nhiên trên không gian Banach và không gian xác suất Banach. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach. Nghiên cứu về "đa tạp quán tính trung bình bình phương", tìm điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại của nó đối với một lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên tựa tuyến tính trên một không gian Hilbert thực khả li. Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của bài toán Cauchy với phần tuyến tính là toán tử sinh của một C-nửa nhóm bị chặn mũ.

Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian xác suất Bannach. Phạm vi nghiên cứu -Luận án nghiên cứu các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach. - Tìm điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại đa tạp quán tính trung bình bình phương của một lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên tựa tuyến tính. -Nghiệm của bài toán Cauchy với phần tuyến tính là toán tử sinh của một C-nửa nhóm bị chặn mũ.

Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng các kĩ thuật của xác suất, giải tích, giải tích ngẫu nhiên, các công cụ của martingale để chứng minh các định lí hội tụ. Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, lý thuyết toán tử tất định, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính chất đẳng cự của tích phân Ito. cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về hội tụ của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, cũng như 6 các kết quả của toán tử ngẫu nhiên.

Lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên tựa tuyến tính và bài toán Cauchy với phần tuyến tính là toán tử sinh của một C-nửa nhóm bị chặn mũ. Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lí thuyết về toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian xác suất Banach của lí thuyết xác suất. Tổng quan và cấu trúc luận án 7. Tổng quan luận án Không gian xác suất Banach và lí thuyết toán tử ngẫu nhiên trước hết là sự phát triển tự nhiên của lí thuyết giải tích hàm tất định.

Hơn nữa, các khái niệm cơ bản trong xác suất như không gian LX 0 (Ω) - không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach chỉ là trường hợp riêng của không gian xác suất Banach. Ma trận ngẫu nhiên-một lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ trên thế giới hiện nay, không có gì khác hơn là trường hợp hữu hạn chiều của toán tử ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên là trường hợp riêng của hàm nhận giá trị trong không gian xác suất Banach ([40, 52, 57, 58, 63, 62]).