Luận án tiến sĩ: Bài toán biên phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor
Luận án tiến sĩ toán học nghiên cứu bài toán biên phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor. Phân tích sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính chất tiệm cận của các bài toán Dirichlet, Robin-Dirichlet và Kirchhoff-Carrier.
Toán giải tích
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
157
Thời gian đọc
24 phút
Lượt xem
5
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
50 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Phương Trình Sóng Phi Tuyến Balakrishnan Taylor
Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor là một dạng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến quan trọng trong toán học ứng dụng. Phương trình này mô tả dao động của vật liệu đàn hồi có tính nhớt. Số hạng Balakrishnan-Taylor đặc trưng cho sự tắt dần của hệ thống. Nghiên cứu bài toán biên cho phương trình này có ý nghĩa lý thuyết và thực tiễn cao. Luận án tập trung vào ba loại bài toán biên chính. Bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất. Bài toán Robin-Dirichlet với điều kiện biên hỗn hợp. Hệ phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor. Mỗi bài toán đòi hỏi phương pháp nghiên cứu riêng biệt. Kết quả chính bao gồm sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. Tính ổn định nghiệm cũng được khảo sát chi tiết.
1.1. Đặc Điểm Của Phương Trình Balakrishnan Taylor
Phương trình Balakrishnan-Taylor equation thuộc lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hyperbolic. Phương trình chứa số hạng tích phân theo thời gian đặc trưng. Số hạng này mô tả hiệu ứng nhớ của vật liệu. Tính phi tuyến xuất hiện qua hệ số phụ thuộc vào gradient nghiệm. Điều này tạo nên độ phức tạp toán học đáng kể. Phương trình mô tả sóng trong môi trường có tắt dần. Tham số trong số hạng Balakrishnan-Taylor quyết định mức độ tắt dần.
1.2. Ý Nghĩa Vật Lý Của Bài Toán Biên
Bài toán biên mô tả dao động của dây đàn hồi hoặc màng đàn hồi. Điều kiện biên Dirichlet thể hiện sự cố định tại biên. Điều kiện Robin-Dirichlet kết hợp cố định và tương tác đàn hồi. Nghiệm sóng mô tả chuyển động của hệ vật lý theo thời gian. Sự tồn tại nghiệm đảm bảo bài toán có nghĩa vật lý. Tính duy nhất nghiệm cho phép dự đoán hành vi hệ thống. Ổn định nghiệm quan trọng cho ứng dụng thực tế.
1.3. Phạm Vi Nghiên Cứu Của Luận Án
Luận án nghiên cứu ba bài toán biên cụ thể. Chương 4 xét bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất. Chương 5 nghiên cứu bài toán Robin-Dirichlet phức tạp hơn. Chương 6 mở rộng sang hệ phương trình Kirchhoff-Carrier. Mỗi bài toán có đặc điểm toán học riêng. Phương pháp Galerkin được sử dụng làm công cụ chính. Kết quả bao gồm định lý tồn tại, duy nhất và ổn định.
II. Bài Toán Dirichlet Cho Phương Trình Sóng
Bài toán Dirichlet là bài toán biên cơ bản nhất được nghiên cứu. Phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng kiểu Balakrishnan-Taylor. Điều kiện biên Dirichlet thuần nhất áp dụng trên toàn biên. Nghiệm triệt tiêu tại biên của miền xét. Bài toán mô tả dây hoặc màng cố định tại hai đầu. Phương pháp nghiên cứu dựa trên lược đồ lặp tuyến tính. Dãy nghiệm xấp xỉ được xây dựng theo phương pháp Galerkin. Sự hội tụ của dãy này dẫn đến nghiệm yếu. Tính duy nhất được chứng minh bằng phương pháp năng lượng. Ổn định tổng quát của nghiệm cũng được thiết lập. Kết quả áp dụng cho miền không gian bất kỳ.
2.1. Phát Biểu Bài Toán Dirichlet
Bài toán xét trên miền trụ Q = Ω × (0,T). Ω là miền bị chặn trong không gian Euclid. Biên Γ của Ω đủ trơn theo nghĩa Lipschitz. Phương trình chứa toán tử Laplace phi tuyến. Hệ số phụ thuộc vào chuẩn gradient của nghiệm. Số hạng Balakrishnan-Taylor chứa tích phân thời gian. Điều kiện biên u = 0 trên Γ × (0,T). Điều kiện ban đầu cho u và đạo hàm theo thời gian.
2.2. Sự Tồn Tại Nghiệm Yếu
Nghiệm yếu được định nghĩa trong không gian Sobolev phù hợp. Phương pháp Galerkin xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hữu hạn chiều. Mỗi nghiệm xấp xỉ thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường. Các ước lượng tiên nghiệm đảm bảo bị chặn đều. Tính compact yếu cho phép trích dãy con hội tụ. Giới hạn của dãy con là nghiệm yếu cần tìm. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm được thiết lập hoàn chỉnh.
2.3. Tính Ổn Định Tổng Quát
Ổn định nghiệm được hiểu theo nghĩa năng lượng. Năng lượng của hệ giảm theo thời gian. Số hạng Balakrishnan-Taylor đóng vai trò tắt dần. Tốc độ tắt dần phụ thuộc vào tham số của bài toán. Ước lượng năng lượng sử dụng bất đẳng thức Gronwall. Tính ổn định tổng quát được chứng minh chi tiết. Kết quả này quan trọng cho ứng dụng thực tế.
III. Bài Toán Robin Dirichlet Với Điều Kiện Hỗn Hợp
Bài toán Robin-Dirichlet kết hợp hai loại điều kiện biên khác nhau. Điều kiện Dirichlet áp dụng trên một phần biên Γ₁. Điều kiện Robin áp dụng trên phần biên còn lại Γ₀. Điều kiện Robin chứa cả nghiệm và đạo hàm pháp tuyến. Bài toán này phức tạp hơn bài toán Dirichlet thuần túy. Phương pháp nghiên cứu vẫn dựa trên lược đồ Galerkin. Không gian hàm thử nghiệm phải thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu được chứng minh. Khai triển tiệm cận của nghiệm cũng được thiết lập. Kết quả cho thấy ảnh hưởng của điều kiện biên Robin. Nghiệm có dạng khai triển chuỗi theo tham số nhỏ.
3.1. Đặc Điểm Điều Kiện Biên Hỗn Hợp
Biên Γ được phân thành hai phần rời nhau Γ₀ và Γ₁. Trên Γ₁ áp dụng điều kiện Dirichlet u = 0. Trên Γ₀ áp dụng điều kiện Robin ∂u/∂n + ku = 0. Hệ số k là hằng số dương đặc trưng cho tương tác. Điều kiện hỗn hợp mô tả vật lý thực tế hơn. Một phần biên cố định, phần khác có tương tác đàn hồi. Không gian Sobolev phải điều chỉnh phù hợp.
3.2. Phương Pháp Galerkin Cho Bài Toán
Cơ sở Galerkin được chọn từ hàm riêng của toán tử. Toán tử Laplace với điều kiện biên hỗn hợp. Hàm riêng tạo thành hệ trực chuẩn đầy đủ. Nghiệm xấp xỉ là tổ hợp tuyến tính hữu hạn. Hệ số xác định từ phương trình Galerkin. Các ước lượng tiên nghiệm phức tạp hơn trường hợp Dirichlet. Điều kiện biên Robin tạo thêm số hạng tích phân biên.
3.3. Khai Triển Tiệm Cận Nghiệm
Nghiệm được khai triển theo tham số nhỏ ε. Khai triển có dạng u = u₀ + εu₁ + ε²u₂ + ... Mỗi số hạng uᵢ thỏa mãn bài toán tuyến tính. Phương pháp nhiễu loạn được áp dụng hệ thống. Sai số giữa nghiệm chính xác và xấp xỉ được ước lượng. Khai triển tiệm cận hữu ích cho tính toán số. Kết quả cho hiểu sâu về cấu trúc nghiệm.
IV. Hệ Phương Trình Kirchhoff Carrier Phi Tuyến
Hệ phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier là mở rộng tự nhiên. Hệ gồm nhiều phương trình liên kết với nhau. Mỗi phương trình chứa số hạng Balakrishnan-Taylor. Các phương trình tương tác qua số hạng phi tuyến. Hệ số Kirchhoff-Carrier phụ thuộc vào tất cả các nghiệm. Bài toán phức tạp hơn đáng kể so với trường hợp đơn. Phương pháp lặp tuyến tính vẫn áp dụng được. Dãy lặp được xây dựng cho vector nghiệm. Sự hội tụ yêu cầu điều kiện mạnh hơn. Kết quả về tồn tại và duy nhất vẫn thiết lập được. Ứng dụng mô tả hệ nhiều dây hoặc màng tương tác.
4.1. Cấu Trúc Hệ Phương Trình
Hệ gồm N phương trình sóng phi tuyến liên kết. Mỗi phương trình có dạng tương tự phương trình đơn. Hệ số Kirchhoff-Carrier phụ thuộc vào tổng các gradient. Số hạng Balakrishnan-Taylor xuất hiện trong mỗi phương trình. Điều kiện biên Dirichlet áp dụng cho tất cả nghiệm. Điều kiện ban đầu cho mỗi thành phần nghiệm. Hệ mô tả tương tác giữa nhiều thành phần.
4.2. Lược Đồ Lặp Cho Hệ Phương Trình
Lược đồ lặp tuyến tính hóa hệ phi tuyến. Tại bước lặp thứ m, giải hệ tuyến tính. Hệ số được tính từ nghiệm bước lặp m-1. Mỗi bước lặp giải N bài toán tuyến tính độc lập. Phương pháp Galerkin áp dụng cho từng bài toán. Các ước lượng đều cần thiết cho tất cả thành phần. Tính compact đảm bảo sự hội tụ của dãy lặp.
4.3. Sự Hội Tụ Và Duy Nhất Nghiệm
Chứng minh hội tụ sử dụng nguyên lý compact yếu. Dãy nghiệm xấp xỉ bị chặn trong không gian phù hợp. Trích dãy con hội tụ yếu đến nghiệm yếu. Tính duy nhất sử dụng phương pháp năng lượng. Hiệu hai nghiệm thỏa mãn phương trình tuyến tính. Năng lượng của hiệu phải triệt tiêu. Điều này dẫn đến hai nghiệm trùng nhau.
V. Phương Pháp Số Và Không Gian Hàm
Phương pháp Galerkin là công cụ chính trong nghiên cứu. Phương pháp này rời rạc hóa bài toán vô hạn chiều. Nghiệm xấp xỉ nằm trong không gian hữu hạn chiều. Cơ sở Galerkin thường chọn từ hàm riêng. Hàm riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên. Các không gian Sobolev cung cấp khuôn khổ lý thuyết. Không gian L² và H¹ được sử dụng phổ biến. Không gian phụ thuộc thời gian cũng cần thiết. Các định lý compact là công cụ quan trọng. Bất đẳng thức Gronwall giúp ước lượng nghiệm. Phương pháp năng lượng chứng minh duy nhất và ổn định.
5.1. Không Gian Sobolev Cơ Bản
Không gian L²(Ω) chứa hàm khả tích bình phương. Chuẩn L² định nghĩa qua tích phân bình phương. Không gian H¹(Ω) chứa hàm có đạo hàm yếu trong L². Không gian H¹₀(Ω) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet. Tích vô hướng H¹ bao gồm cả gradient. Bất đẳng thức Poincaré liên hệ các chuẩn. Các không gian này là không gian Hilbert đầy đủ.
5.2. Phương Pháp Galerkin Chi Tiết
Chọn cơ sở {wⱼ} trực chuẩn trong không gian Hilbert. Nghiệm xấp xỉ uₘ = Σⱼ₌₁ᵐ cⱼₘ(t)wⱼ. Hệ số cⱼₘ(t) xác định từ phương trình Galerkin. Phương trình thu được bằng chiếu lên không gian con. Hệ phương trình vi phân thường cho các hệ số. Lý thuyết Cauchy-Lipschitz đảm bảo tồn tại nghiệm. Các ước lượng tiên nghiệm độc lập với m.
5.3. Kỹ Thuật Ước Lượng Và Compact
Ước lượng năng lượng là kỹ thuật cơ bản. Nhân phương trình với đạo hàm thời gian của nghiệm. Tích phân theo không gian và thời gian. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Young. Bất đẳng thức Gronwall cho ước lượng cuối cùng. Định lý Aubin-Lions đảm bảo tính compact mạnh. Tính compact yếu trong không gian Sobolev.
VI. Kết Quả Và Ứng Dụng Của Nghiên Cứu
Luận án đạt được nhiều kết quả quan trọng về lý thuyết. Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu cho ba bài toán biên. Thiết lập tính duy nhất nghiệm trong các điều kiện phù hợp. Nghiên cứu ổn định tổng quát của nghiệm theo thời gian. Xây dựng khai triển tiệm cận cho bài toán Robin-Dirichlet. Kết quả mở rộng từ phương trình đơn sang hệ phương trình. Các định lý được chứng minh chặt chẽ toán học. Phương pháp nghiên cứu có tính hệ thống cao. Kết quả có thể áp dụng cho nhiều bài toán vật lý. Dao động của dây đàn hồi, màng đàn hồi có tắt dần. Nghiên cứu tạo cơ sở cho phương pháp số hiệu quả.
6.1. Tổng Hợp Kết Quả Chính
Bài toán Dirichlet: tồn tại, duy nhất và ổn định nghiệm. Bài toán Robin-Dirichlet: thêm khai triển tiệm cận nghiệm. Hệ Kirchhoff-Carrier: mở rộng cho hệ nhiều phương trình. Tất cả sử dụng phương pháp Galerkin thống nhất. Điều kiện đủ cho sự tồn tại được làm rõ. Tính duy nhất đúng trong không gian Sobolev phù hợp. Ổn định nghiệm theo nghĩa năng lượng.
6.2. Ý Nghĩa Khoa Học
Nghiên cứu góp phần vào lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Số hạng Balakrishnan-Taylor ít được nghiên cứu trước đây. Kết quả bổ sung cho lý thuyết phương trình sóng. Phương pháp có thể áp dụng cho bài toán tương tự. Khai triển tiệm cận là đóng góp mới. Hệ Kirchhoff-Carrier với Balakrishnan-Taylor là hướng mới.
6.3. Hướng Phát Triển Tiếp Theo
Nghiên cứu điều kiện biên tổng quát hơn. Xét miền không gian có biên không trơn. Phát triển phương pháp số dựa trên lý thuyết. Nghiên cứu hành vi nghiệm khi thời gian tiến đến vô cùng. Xét trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian. Mở rộng sang phương trình bậc cao hơn. Ứng dụng cho bài toán kỹ thuật cụ thể.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (157 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI ĐỨC NAM MỘT SÓ BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA SÓ HẠNG BALAKRISHNAN-TAYLOR LUẬN AN TIEN SĨ TP. Hồ Chí Minh — 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE BUI DUC NAM Doctoral Thesis Ho Chỉ Minh City — 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI ĐỨC NAM Ngành: Toán giải tích Mã sô Ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS.
Mai Đức Thành Phản biện 3: PGS. Nguyễn Huy Tuấn Phản biện độc lập 1: PGS. Ngô Quốc Anh Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Tuấn Duy NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1.
Nguyễn Anh Triết 2. Nguyễn Thành Long TP. Hồ Chí Minh - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam doan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, uới dé tài "Mot số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa sé hạng Balakrishnan-Taylor” là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Anh Triết va TS.
Nguyễn Thành Long. Những kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực, chính xác va không trùng lắp uới các công trình đã công bô trong va ngoài nước. Các bài báo đồng tác gid, da được các đồng tác giả cho phép sử dụng đểviét luận án nay. Nghiên cứu sinh Bùi Đức Nam L Ời cảm on Qua luận án này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thay TS.
Nguyễn Anh Triết và TS. Nguyễn Thành Long. Các Thây đã hướng dẫn, chỉ bảo và tận tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin cảm ơn PGS.
Lê Thị Phương Ngọc và TS. Nguyễn Hữu Nhân da đọc và góp một số ý kiến hữu ích giúp tôi hoàn thành luận án này. Cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các Nha Khoa hoc, Quy Thay Cô trong các Hội đông chấm luận án tiến sĩ cap Don vị chuyên môn, cấp cơ sở Đào tao, các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét rat bổ ích giúp tôi hoàn thiện tot luận án. Tôi vô cùng biết on Quý Thay Cô trong và ngoài Khoa Todn-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.
Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm học thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường. Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Tỉhâiy Cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Dai học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điêu kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành chương trình học. Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Doan Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học Ung dụng, các Phòng Ban của trường Dai học Công Thương Thành Phó Hồ Chí Minh và các Anh Chị đông nghiệp tại trường lời cảm ơn sâu sắc vì sự hỗ trợ về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh.
1ôi chân thành cảm on các Thay Cô, Anh Chị các Bạn thuộc nhóm Seminar đặc biệt là TS. Võ Thị Tuyết Mai, TS. Lê Hữu Kỳ Son, NCS. Đoàn Thị Như Quỳnh, NCS.
Nguyên Vũ Dzũng đã đóng góp những ý kiến và kính nghiệm quý báu trong các buổi sinh hoạt học thuật. Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất gửi đến các thành viên của gia đình tôi những người đã luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điêu kiện thuận lợi nhất để tôi học tập. ii Mục lục NT IIIIIhihiaaa i eee ii Trang thông tinludnan|. e eee eee M Ta ee vii tiiaaaaaaaaŸẳỶÝÝỶÝẢÝ ix Chuong1 MỞĐẦU|.
1 Chương2 TỔNGQUAN|. 4 Chương3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU| .1 Các không gian hàm thông dụng|.2 Không gian phụ thuộc thời gian 20 3.3 Hàm riêng của dạng song tuyên tính trên không gian Hilbert_. 21 Chương4_ Bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa sô hạng — 24 Le ee 24 4.2 Sự ton tại và duy nhất nghiệm yêu 25 4.1 Sự ton tại của dãy lặp tuyến tính 27 4.2 Sự hội tụ của dãy lặp tuyến tính 40 4.3 Tính tat dan tổng quát của nghiệm 48 44 Kết luận chương4|. Ặ Q TQ Q eee 59 Chuong5 Bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa so hạng kiểu Balakrishnan-Taylor|.
HQ HQ HQ HH ee 61 5.2 Sự ton tại và duy nhất nghiệm yêu 62 5.3 Khai triển tiệm cận nghiệm yêu 76 5.4 Kết luận chương 5|.000000 ee 86 11 Chương6 Hệ phương trình sóng phi tuyên kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor}. QẶ QQ Do 88 6. Sự ton tại và duy nhất nghiệm yêu 6.1 Sự tôn tại của day lặp tuyến tính 6. Sự hội tụ của dãy lặp tuyến tính 6.0000 HQ ng ee 131 Chương7 KÊT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ|.
133 TÀI LIỆU THAM KHẢO|. 135 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NCS|. 144 1V TRANG THONG TIN LUẬN ÁN Tên dé tài luận án: Một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Balakrishnan-Taylor Ngành: Toán giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: BÙI ĐỨC NAM Khóa đào tạo: 2020 Người hướng dẫn khoa học 1: TS. NGUYEN ANH TRIẾT Người hướng dẫn khoa học 2: TS.
NGUYEN THÀNH LONG Cơ sở đào tao: Trường Dai hoc Khoa hoc Tự nhiên, DHQG-HCM 1. TOM TAT NOI DUNG LUAN AN: Luận án này tập trung nghiên cứu tinh giải được và một số tính chất nghiệm của các bài toán biên cho phương trình và hệ phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff- Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor. Nội dung chính được trình bày trong 3 chương luận án, Chương 4, Chương 5 và Chương 6. Chương 4 nghiên cứu bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt và số hạng Balakrishnan-Taylor tự — mg — Fe | (etx, 8), (0x(),8s(9), Ie(ĐIỂ, sO?) as + là (t — 8) Uxx (s)ds =f (ett sts te (0(Đ,ma(Đ), Ie@)IỂIs(ĐIỂ), Get) Qr, — #) u(0,t) = u(1,t) = 0, u(x,0) = fig(x), ur(x,0) = (x), với Qr = (0,1) x (0,T),A > 0là hang số va fg, ñ, H, &, ƒ là các hàm số cho trước.
Chương 5 khảo sát bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor.), ||0|l¿= wW4(0,ø), Vu„ø € Ht. Chương 6 xét bài toán Robin-Dirichlet cho hệ phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor tụ — AMyxt — 2 [pty (x,t, (tty („0x (£))) ty] + lá (F— s) yy (s) ds =1 %,tu, 0) xy Oxy tị, vt), (x,t) € Qr, ou — & [Ma (x,t,ø, [lo (OI les (I?) v4] + Í sa (ts) 9x (8) ds G) = fo (x,t, U,V, Ux, Vx, Ut, 04), (x,t) € Qr, ,t) = 0x (0,f) — Gv (0,t) =0, o(x), Øo(x)), (u(x, 0), ø(x,0)) = (Hi (x), ð1(3)), với À > 0, > 0 là các hằng số va fig, ñ, 80, 01, Mir fir 81 (i = 1,2) là các ham cho trước. NHUNG KET QUA MOI CUA LUAN AN: Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mạnh hon những kết qua đã có, và được công bồ trên các tạp chí Quốc tế có uy tín [Lithuanian Mathematical Journal, 60(2), 225- 247 (SCI-E, O2); Mathematica Bohemica, 147(2), 237-270 (ESCI, O3); Filomat, 37(8), 2321-2346 (SCI-E, Q2)]. Những kết quả mới được trình bày trong luậnán bao gồm: 1.
Sự tồn tại nghiệm và tính chất duy nhất nghiệm yếu của các bài toán (1), (2), (3). Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (2) đến cấp N + 1 theo tham số bé h. Các kết qua tắt dan tổng quát khi —› +eo của nghiệm yếu các bài toán {1} và (|. CAC UNG DUNG/KHA NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU: Trong tương lai, chung tôi sé mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau 1.
Nghiên cứu các thuật giải lặp cấp cao để thiết lập được dãy xấp xỉ hội tụ về nghiệm yếu bài toán với tốc độ hội tụ tốt hơn thuật giải xấp xỉ tuyến tính. Nghiên cứu các tính chất bùng nổ của nghiệm tại thời gian hữu hạn, và các tính chất khác (nếu có) của nghiệm. VI THESIS INFORMATION Thesis title: Some boundary problems for nonlinear wave equations with Balakrishnan- Taylor term Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102 Name of PhD Student: BUI DUC NAM Academic year: 2020 Supervisor 1: Dr. NGUYEN ANH TRIET Supervisor 2: Dr.
NGUYEN THANH LONG At: VNUHCM- University of Science 1. SUMMARY: This thesis focuses on studying the solvability and the properties of solutions of boundary problems for nonlinear wave equation of Kirchhoff-Carrier type with Balakrishnan- Taylor term. The main results are presented in three chapters (4, 5, 6) as follows: Chapter 4 studies the Dirichlet problem for a nonlinear viscoelastic equation with Balakrishnan-Taylor term Up — Auyxt — 2 | (x, t, u(x,t), (Ux(t), Uxt(t)), I|u(t)|)7, lux(#)I77) ¬ + Í 8(1—$) sx (5) ds =F (x letter te tae (ns(),0s(9), Ie(ĐIÊ,Ins(ĐIP), (x9 € Qr, — † u(0,t) = u(1,t) = 0, u(x,0) = fig(x), us(x,0) = i (x), where Qr = (0,1) x (0,T), A > 0 is a given constant and fig, ñ , ƒ, g are given functions. Chapter 5 investigates the Robin-Dirichlet problem for a nonlinear wave equation of Kirchhoff-Carrier type with Balakrishnan-Taylor term tụ — Atta — 1 (toa (0(,0(0)), ),| eC le) 2) sa =f (xt,m,ws,s (u(t), t ue(t)) llM(OI? ella)» 6) €Qr — ø ux (0,f) —hu(0,t) = u(1,t) =0, u(x,0) = fig(x), ur(x,0) = (x), where 1, ƒ, fig, ñ are given functions and A > 0,h > 0 are given constants, a(-,-) is the vii symmetric bilinear form on H! x H! defined by a(u,v) = [ y(x)0x(x)dx + hu(0)ø0(0), |v], = /a(v,v), Vu,v € HÌ.
Chapter 6 is devoted to study the Robin-Dirichlet problem for a system of nonlinear viscoelastic equations of Kirchhoff-Carrier type with Balarkrishnan-Taylor term tay = Ante — Loy (x, (My („mg (Đ)) ta] + [ si =5) tax (8) a = ñ(%,t,u,0,uy,0x,,0t), (x,t) € Qr, ou — Be [Ia (x.1,9, lo (IP, [les (IP) 9] + ƒ 1g2 (8) 0x (8) ds 3) = fo (x,t, U, 0, Ux, Vx, Ut, V4), (x,t) € Qr, ,t) =0(1,t) = 0x (0,t) — Cv (0,t) = 0, 0)) = (fo(x), Fo(x)), ((x,0), ø;(x,0)) = (m1(x), ð1(x)), where A > 0,6 > 0 are given constants and fio, ñ1, 50, 61, fj, fir i (i = 1,2) are given functions. NOVELTY OF THESIS: Thesis contains numerous new results, which have been published on prestigious scientific journals [Lithuanian Mathematical Journal, 60(2), 225-247 (SCI-E, Q2); Math- ematica Bohemica, 147(2), 237-270 (ESCI, Q3); Filomat, 37(8), 2321-2346 (SCI-E, Q2)]. The novelty of thesis can be mentioned as follows 1. The existence and uniqueness of the weak solutions for the problems (1), (2) and (3).
The asymptotic expansion of the weak solution up to N + 1 order in a small parameter h for the problem (2). The results of general decay as t — +00 of the weak solution for the problems and (3). APPLICATIONS/APPLICABILIT Y/PERSPECTIVE: In the future, we will extend our researches to the following topics 1.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Từ khóa và chủ đề nghiên cứu
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ toán học nghiên cứu bài toán biên phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor. Phân tích sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính chất tiệm cận của các bài toán Dirichlet, Robin-Dirichlet và Kirchhoff-Carrier.
Luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP.HCM. Năm bảo vệ: 2023.
Luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Danh mục: Giải Tích.
Luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" có bao nhiêu trang?
Luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" có 157 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Phương trình sóng phi tuyến Balakrishnan-Taylor: Bài toán biên" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.