Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) - Luận án tiến sĩ Tôn Thất Quang Nguyên
Luận án tiến sĩ nghiên cứu ước lượng phi tham số cho P(X<Y) từ dữ liệu nhiễu. Xây dựng ước lượng vững và thiết lập chặn hội tụ bằng lý thuyết minimax.
Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
95
Thời gian đọc
15 phút
Lượt xem
2
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Ước lượng phi tham số P X Y với dữ liệu nhiễu
Ước lượng phi tham số cho xác suất stress-strength P(X<Y) đóng vai trò quan trọng trong thống kê toán học. Bài toán trở nên phức tạp khi dữ liệu bị nhiễu do sai số đo lường. Luận án tập trung vào việc xây dựng ước lượng vững cho đại lượng θ := P(X < Y) từ hai mẫu quan sát bị nhiễu. Các biến ngẫu nhiên X và Y không được quan sát trực tiếp mà thông qua các phép đo có sai số. Measurement error xuất hiện trong nhiều lĩnh vực thực tiễn như y học, kỹ thuật, và khoa học tự nhiên. Phương pháp phi tham số cho phép ước lượng mà không cần giả định về dạng phân phối cụ thể. Nghiên cứu sử dụng lý thuyết minimax, giải tích thực và phức để thiết lập các chặn về tốc độ hội tụ. Kết quả áp dụng cho cả trường hợp sai số đồng phân phối và dị phân phối.
1.1. Bài toán ước lượng với sai số đo lường
Bài toán xuất phát từ việc quan sát Xi = Xj + εj và Yi = Yk + ηk thay vì các giá trị thực Xj và Yk. Các biến ngẫu nhiên εj và ηk đại diện cho sai số đo. Giả định các biến Xj độc lập cùng phân phối với hàm mật độ fx chưa biết. Tương tự, các biến Yk độc lập cùng phân phối với hàm mật độ fy chưa biết. Sai số đo có thể đồng phân phối hoặc dị phân phối tùy từng trường hợp. Mục tiêu là ước lượng θ = P(X < Y) từ dữ liệu nhiễu này. Độ chính xác của ước lượng phụ thuộc vào đặc tính của sai số và kích thước mẫu.
1.2. Hai trường hợp sai số chính được nghiên cứu
Trường hợp thứ nhất xét sai số đồng phân phối. Các εj độc lập cùng hàm mật độ fε. Các ηk độc lập cùng hàm mật độ fη. Giá của các hàm mật độ này nằm trong [-M, M] với M > 0. Trường hợp thứ hai xét sai số dị phân phối. Mỗi εj có hàm mật độ riêng fεj. Mỗi ηk có hàm mật độ riêng fηk. Giá vẫn bị chặn trong [-M, M] với M độc lập với kích thước mẫu. Cả hai trường hợp đều yêu cầu phương pháp deconvolution để loại bỏ ảnh hưởng của sai số.
1.3. Ý nghĩa thực tiễn của bài toán
Xác suất P(X < Y) đo lường độ tin cậy hệ thống trong mô hình stress-strength. X đại diện cho độ bền của hệ thống. Y đại diện cho ứng suất tác động lên hệ thống. Hệ thống hoạt động tốt khi X > Y. Ước lượng chính xác P(X < Y) giúp đánh giá độ tin cậy. Trong thực tế, các phép đo luôn có sai số. Phương pháp phi tham số không yêu cầu giả định phân phối cứng nhắc. Điều này tăng tính linh hoạt và khả năng ứng dụng rộng rãi.
II. Phương pháp kernel density estimation và deconvolution
Kernel density estimation là công cụ cốt lõi trong ước lượng hàm mật độ phi tham số. Phương pháp này sử dụng hàm nhân để làm trơn dữ liệu quan sát. Khi dữ liệu bị nhiễu, cần áp dụng kỹ thuật deconvolution. Deconvolution loại bỏ ảnh hưởng của sai số đo thông qua biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier chuyển tích chập thành phép nhân đơn giản. Điều này giúp tách riêng thành phần tín hiệu thực và sai số. Ước lượng hàm mật độ trơn thường và siêu trơn đòi hỏi lựa chọn bandwidth phù hợp. Bandwidth kiểm soát độ trơn của ước lượng. Lựa chọn bandwidth tối ưu cân bằng giữa bias và variance. Phương pháp bootstrap có thể hỗ trợ việc lựa chọn tham số này.
2.1. Nguyên lý kernel density estimation
Ước lượng hàm mật độ kernel có dạng tổng các hàm nhân. Mỗi quan sát đóng góp một hàm nhân được làm trơn. Tham số bandwidth h điều chỉnh độ rộng của hàm nhân. Bandwidth nhỏ cho ước lượng chi tiết nhưng nhiễu. Bandwidth lớn cho ước lượng trơn nhưng mất thông tin. Hàm nhân thường dùng gồm Gaussian, Epanechnikov, và uniform. Tính chất của hàm nhân ảnh hưởng đến hiệu quả ước lượng. Phương pháp này không yêu cầu giả định tham số về phân phối.
2.2. Kỹ thuật deconvolution qua biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier chuyển hàm sang miền tần số. Tích chập trong miền thời gian trở thành phép nhân trong miền tần số. Nếu Z = X + ε thì φZ(t) = φX(t)φε(t) với φ là hàm đặc trưng. Ước lượng φX(t) = φZ(t)/φε(t) khi biết φε(t). Biến đổi Fourier ngược cho ước lượng hàm mật độ fx. Quá trình này gọi là deconvolution. Vấn đề ill-posed xuất hiện khi φε(t) gần 0. Cần kỹ thuật regularization để ổn định ước lượng.
2.3. Xử lý hàm mật độ trơn thường và siêu trơn
Hàm mật độ trơn thường có hàm đặc trưng giảm theo lũy thừa đa thức. Hàm mật độ siêu trơn có hàm đặc trưng giảm theo hàm mũ. Sai số Laplace và Gamma là ví dụ điển hình của siêu trơn. Trường hợp siêu trơn khó hơn do deconvolution kém ổn định. Tốc độ hội tụ chậm hơn với sai số siêu trơn. Cần điều chỉnh bandwidth theo logarithm của kích thước mẫu. Phương pháp minimax giúp tìm tốc độ hội tụ tối ưu. Chặn trên và chặn dưới xác định giới hạn lý thuyết.
III. Xây dựng ước lượng vững cho xác suất P X Y
Ước lượng vững là ước lượng hội tụ về giá trị thực khi kích thước mẫu tăng. Luận án xây dựng ước lượng θ̂n cho θ = P(X < Y) từ dữ liệu nhiễu. Phương pháp dựa trên ước lượng hàm mật độ deconvolution. Sau khi ước lượng fx và fy, tính P(X < Y) qua tích phân. Tính vững được chứng minh khi sai số có giá compact. Điều kiện supp(fε) ⊂ [-M, M] và supp(fη) ⊂ [-M, M] là cần thiết. Ước lượng Wilcoxon-Mann-Whitney cung cấp điểm khởi đầu. Tuy nhiên, ước lượng này không điều chỉnh cho sai số đo. Phương pháp mới kết hợp deconvolution và tích phân số. Độ phức tạp tính toán phụ thuộc vào số lượng điểm lưới.
3.1. Quy trình xây dựng ước lượng
Bước đầu ước lượng hàm mật độ fx từ dữ liệu nhiễu Xi. Sử dụng kernel deconvolution với bandwidth hn phù hợp. Tương tự ước lượng hàm mật độ fy từ dữ liệu Yi. Bandwidth có thể khác nhau cho hai ước lượng. Tính θ̂ = ∫∫ I(x<y) f̂x(x) f̂y(y) dx dy. Tích phân này được xấp xỉ bằng phương pháp số. Sử dụng lưới điểm rời rạc để tính tổng. Độ mịn của lưới ảnh hưởng đến sai số xấp xỉ.
3.2. Điều kiện cho tính vững của ước lượng
Tính vững yêu cầu E|θ̂n - θ|² → 0 khi n, m → ∞. Điều kiện giá compact của sai số đảm bảo khả nghịch của deconvolution. Hàm đặc trưng của sai số không triệt tiêu trên R. Bandwidth phải thỏa mãn hn → 0 và nhn → ∞. Tốc độ hội tụ của bandwidth phụ thuộc vào độ trơn của fx và fy. Với hàm mật độ thuộc lớp Sobolev, bandwidth tối ưu có dạng n^(-1/(2β+1)). Tham số β đo độ trơn của hàm mật độ. Chứng minh tính vững sử dụng bất đẳng thức Minkowski và Cauchy-Schwarz.
3.3. So sánh với ước lượng Wilcoxon Mann Whitney
Ước lượng Wilcoxon-Mann-Whitney là U-statistic cổ điển. Công thức θ̂WMW = (1/nm) Σ I(Xi < Yj). Ước lượng này vững khi không có sai số đo. Với dữ liệu nhiễu, θ̂WMW ước lượng P(X+ε < Y+η). Giá trị này khác với P(X < Y) khi sai số không đối xứng. Sai lệch phụ thuộc vào phân phối của ε và η. Phương pháp deconvolution khắc phục vấn đề này. Ước lượng mới có bias nhỏ hơn nhưng variance lớn hơn. Trade-off này được kiểm soát qua lựa chọn bandwidth.
IV. Tốc độ hội tụ và chặn minimax cho ước lượng
Tốc độ hội tụ đo mức độ nhanh mà ước lượng tiến đến giá trị thực. Lý thuyết minimax xác định tốc độ tối ưu không thể vượt qua. Luận án thiết lập chặn trên cho rủi ro tối đa E|θ̂n - θ|². Chặn dưới minimax chứng minh tốc độ đạt được là tối ưu. Khi (fx, fy) thuộc lớp hàm F(β,C) với độ trơn β, tốc độ hội tụ phụ thuộc vào β. Với sai số trơn thường, tốc độ điển hình là n^(-2β/(2β+1)). Với sai số siêu trơn Laplace hoặc Gamma, tốc độ chậm hơn. Tốc độ có thể là (log n)^(-β) trong trường hợp siêu trơn. Kết quả này phù hợp với lý thuyết deconvolution đã biết. Phương pháp chứng minh sử dụng giải tích phức và kỹ thuật moment matching.
4.1. Chặn trên cho rủi ro tối đa
Rủi ro tối đa là sup E|θ̂n - θ|² trên lớp hàm cho trước. Phân tích sai số thành bias và variance. Bias xuất phát từ việc làm trơn qua bandwidth. Variance xuất phát từ biến động mẫu ngẫu nhiên. Với lớp Sobolev β-trơn, bias = O(h^β). Variance = O((nh)^(-1)) cho kernel bậc hai. Cân bằng bias-variance cho bandwidth tối ưu h* ~ n^(-1/(2β+1)). Thay vào được rủi ro tối đa O(n^(-2β/(2β+1))). Chặn này đúng cho cả hai ước lượng hàm mật độ.
4.2. Chặn dưới minimax qua kỹ thuật Assouad
Chặn dưới minimax chứng minh không có ước lượng nào tốt hơn. Kỹ thuật Assouad lemma xây dựng họ phân phối khó phân biệt. Chọn hai hàm mật độ fx0 và fx1 gần nhau. Khoảng cách Kullback-Leibler giữa chúng nhỏ. Nhưng θ0 = P(X0 < Y) và θ1 = P(X1 < Y) khác nhau đáng kể. Mọi ước lượng phải nhầm lẫn với xác suất không đổi. Điều này dẫn đến rủi ro tối thiểu không thể tránh. Chặn dưới phù hợp với chặn trên đã thiết lập. Kết luận tốc độ hội tụ là tối ưu.
4.3. Trường hợp đặc biệt với sai số siêu trơn
Sai số Laplace có hàm mật độ fε(x) = (1/2)e^(-|x|). Hàm đặc trưng φε(t) = 1/(1+t²) giảm chậm. Deconvolution yêu cầu chia cho φε(t) rất nhỏ ở tần số cao. Điều này khuếch đại nhiễu nghiêm trọng. Bandwidth phải chọn hn ~ (log n)^(-1) thay vì n^(-1/(2β+1)). Tốc độ hội tụ trở thành (log n)^(-β) chậm hơn nhiều. Sai số Gamma có tính chất tương tự. Kết quả cho thấy sai số siêu trơn khó xử lý hơn đáng kể. Tuy nhiên ước lượng vẫn hội tụ về giá trị thực.
V. Phương pháp bootstrap và khoảng tin cậy
Phương pháp bootstrap cung cấp công cụ suy diễn thống kê phi tham số. Bootstrap ước lượng phân phối của θ̂n bằng cách lấy mẫu lại. Từ dữ liệu gốc, rút ngẫu nhiên có hoàn lại B mẫu bootstrap. Với mỗi mẫu bootstrap, tính ước lượng θ̂b. Phân phối của {θ̂1,...,θ̂*B} xấp xỉ phân phối của θ̂n. Phương sai bootstrap ước lượng Var(θ̂n). Quantile bootstrap xây dựng khoảng tin cậy. Khoảng tin cậy 95% là [θ̂n - q0.975, θ̂n - q0.025] với q là quantile bootstrap. Phương pháp này không yêu cầu công thức giải tích cho phân phối. Tính nhất quán của bootstrap cần điều kiện kỹ thuật. Với dữ liệu nhiễu, bootstrap phải tính đến cấu trúc sai số.
5.1. Quy trình bootstrap cho dữ liệu nhiễu
Bước 1: Từ {X1,...,Xn} rút mẫu có hoàn lại {X1,...,Xn}. Bước 2: Từ {Y1,...,Ym} rút mẫu có hoàn lại {Y1,...,Ym}. Bước 3: Tính ước lượng θ̂b từ mẫu bootstrap. Sử dụng cùng bandwidth và phương pháp deconvolution. Bước 4: Lặp lại B lần để có {θ̂1,...,θ̂B}. Thông thường B = 500 hoặc 1000 là đủ. Bước 5: Tính phương sai mẫu của các θ̂b. Bước 6: Tính quantile 2.5% và 97.5% cho khoảng tin cậy 95%.
5.2. Tính nhất quán của bootstrap
Bootstrap nhất quán nếu phân phối bootstrap hội tụ đến phân phối giới hạn. Với dữ liệu không nhiễu, điều kiện thông thường đủ. Với dữ liệu nhiễu, cần điều kiện bổ sung về sai số. Sai số phải có moment bậc cao hữu hạn. Bandwidth bootstrap phải giống bandwidth gốc. Tốc độ hội tụ của bootstrap có thể chậm hơn ước lượng gốc. Trong một số trường hợp, cần m-out-of-n bootstrap. Phương pháp này lấy mẫu kích thước nhỏ hơn n. Điều này cải thiện tính chất của bootstrap với dữ liệu nhiễu.
5.3. Ứng dụng trong kiểm định giả thuyết
Kiểm định H0: θ = θ0 với mức ý nghĩa α. Tính khoảng tin cậy (1-α) cho θ. Bác bỏ H0 nếu θ0 nằm ngoài khoảng tin cậy. Bootstrap cung cấp p-value xấp xỉ. P-value = tỷ lệ |θ̂*b - θ̂n| > |θ0 - θ̂n|. So sánh hai hệ thống qua H0: θ = 0.5. θ > 0.5 nghĩa hệ thống X tin cậy hơn Y. θ < 0.5 nghĩa hệ thống Y tin cậy hơn X. Phương pháp bootstrap linh hoạt cho nhiều dạng kiểm định.
VI. Ứng dụng thực tế và mô phỏng số
Ứng dụng của P(X<Y) xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học. Trong kỹ thuật độ tin cậy, X là độ bền linh kiện, Y là ứng suất môi trường. Trong y học, X là thời gian sống với điều trị mới, Y với điều trị chuẩn. Trong kinh tế, X là lợi nhuận đầu tư này, Y là lợi nhuận đầu tư kia. Dữ liệu thực tế thường có measurement error do hạn chế thiết bị đo. Bỏ qua sai số dẫn đến kết luận sai lệch. Mô phỏng Monte Carlo đánh giá hiệu quả của phương pháp đề xuất. Thiết kế mô phỏng với nhiều kịch bản khác nhau. Thay đổi phân phối fx, fy, fε, fη và kích thước mẫu. So sánh bias, variance, và MSE của các ước lượng. Kết quả mô phỏng xác nhận lý thuyết về tốc độ hội tụ.
6.1. Thiết kế nghiên cứu mô phỏng
Chọn fx là phân phối chuẩn N(μx, σx²). Chọn fy là phân phối chuẩn N(μy, σy²). Điều chỉnh μx, μy để thay đổi θ thực. Sai số ε ~ N(0, σε²) cho trường hợp trơn thường. Sai số η ~ Laplace(0, b) cho trường hợp siêu trơn. Kích thước mẫu n = m thay đổi từ 100 đến 1000. Số lần lặp Monte Carlo là 1000. Tính bias = trung bình(θ̂ - θ). Tính MSE = trung bình(θ̂ - θ)². So sánh với ước lượng Wilcoxon-Mann-Whitney.
6.2. Kết quả mô phỏng và phân tích
Ước lượng deconvolution có bias nhỏ hơn đáng kể so với WMW. Với sai số không đối xứng, WMW sai lệch lên đến 0.1. Phương pháp đề xuất giữ bias dưới 0.01. MSE giảm theo tốc độ lý thuyết khi n tăng. Với sai số trơn thường, MSE ~ n^(-0.8) phù hợp lý thuyết. Với sai số siêu trơn, MSE giảm chậm hơn. Lựa chọn bandwidth ảnh hưởng lớn đến kết quả. Cross-validation cho bandwidth gần tối ưu. Độ phủ của khoảng tin cậy bootstrap đạt 94-96%. Thời gian tính toán chấp nhận được với n < 500.
6.3. Ví dụ ứng dụng trong đánh giá độ tin cậy
Xét hệ thống điện tử với tuổi thọ X. Ứng suất hoạt động trong thời gian Y. Đo lường tuổi thọ có sai số do điều kiện thử nghiệm. Đo lường ứng suất có sai số do cảm biến. Dữ liệu gồm 200 quan sát tuổi thọ và 150 quan sát ứng suất. Ước lượng WMW cho θ̂ = 0.73. Phương pháp deconvolution cho θ̂ = 0.68. Khoảng tin cậy 95% là [0.62, 0.74]. Kết luận hệ thống có độ tin cậy hệ thống khoảng 68%. Điều chỉnh cho sai số thay đổi kết luận đáng kể. Quyết định thiết kế dựa trên ước lượng chính xác hơn.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (95 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TON THAT QUANG NGUYÊN ƯỚC LƯỢNG PHI THAM SỐ CHO P(X <Y) LUAN AN TIEN Si TP. HO CHÍ MINH — NAM 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE TON THAT QUANG NGUYEN NONPARAMETRIC ESTIMATION OF P(x <Y ) Doctoral Thesis ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TON THAT QUANG NGUYÊN UOC LƯỢNG PHI THAM SO CHO P(x <Y) Nganh: Ly thuyết xác suất và thống kê toán hoc Mã sô Ngành: 9460106 Phản biện 1: PGS.
Võ Văn Tài Phản biện 2: TS. Phạm Hoàng Uyên Phản biện 3: PGS. Nguyễn Huy Tuấn Phản biện độc lập 1: PGS. Võ Văn Tài Phản biện độc lập 2: TS.
Tạ Quốc Bảo NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC: GS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG TP. Hồ Chí Minh — Năm 2023 Lời cam đoan Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, với đề tài Ước lượng phi tham số cho P(X < Y) là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS. Đặng Đức Trọng.
Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Tôn Thất Quang Nguyên Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thay hướng dan của tôi, GS. Dang Đức Trọng. Thay đã tận tâm chi dạy và dẫn dắt tôi để tôi có thể hoàn thành luận án này.
Được sự hướng dẫn của Thầy đã tạo động lực to lớn cho tôi hoàn thành luận án. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong Khoa Toán - Tin của Trường Dai học Khoa học Tự nhiên - Dai học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh đã giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức bổ ích kể từ khi tôi bước chân vào ngôi trường ` này. Toi xin cảm ơn các Giáo sư, các nhà Khoa học trong Hội đồng chấm luận án cùng các chuyên gia phản biện đã dành thời gian quý báu của mình để đọc bản thảo luận án và cho tôi những nhận xét, góp ý sâu sắc giúp cho luận án được hoàn thiện hơn.
Toi xin cảm ơn đến các Thầy Cô làm việc ở Phòng Sau đại học, trường Dai học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi về các thủ tục hành chính giúp tôi hoàn thành khóa học và bảo vệ luận án. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn thân thương đến gia đình của tôi. Họ đã động viên, tạo điều kiện và hết lòng giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. ii Mục lục Lời ©; cam đoan i Lời cảm ơn ii Trang thông tin luận án v Thesis information| Vili Danh muc cac ky hiéu 1 jon oy E 2 1 Kiến thức chuẩn bi 8 1.1 Một số kiến thức về Xác suất 8 1.2 Dường cong ROC, chỉ số AUC và P(X<Y)|}.3 Không gian JP[.4 Tích chập trên R|.
Q Q Q HQ va 18 15 Giá của hàm số] .6 Đạo hàm suy rộng|.7 Biến đổi Fourier|.8 Hàm mật độ trơn thường và siêu trơn .9 Biến số ngẫu nhiên Gamma, Laplacel.10 Ước lượng Wilcoxon-Mann-Whitnoy|.11 Hàm giải tích .12 Ước lượng vững, rủi ro tối đa và tốc độ hội tụ 22 1. ee 23 2 Ước lượng phi tham số cho P(X < Y) sử dụng các dữ liệu nhiễu 4 Kết luận 75 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 77 Tài liệu tham khảo 78 iv Trang thông tin luận án Tên đề tài luận án: Ước lượng phi tham số cho P(X < Y) Ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số ngành: 9460106 Họ tên nghiên cứu sinh: Tôn Thất Quang Nguyên Khóa đào tạo: 2019 — 2022 Người hướng dẫn khoa học: GS. Đặng Đức Trọng Cơ sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Ty nhiên, ĐHQG. TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Luận án khảo sát bài toán ước lượng đại lượng 6 := P(X < Y) từ hai mẫu (Xt., Y), trong đó Xi = Xj Gi Yi = Ye tmp, J=l,.
O đây, giả sử rằng các biến số ngẫu nhiên Xj, Gj, Ye, ne là độc lập lẫn nhau đối với 1 < 7,7! < n; 1 < k,k' < m. Các biến số ngẫu nhiên X\,., X„ được giả sử là có cùng phân phối với hàm mật độ không biết fx; các biến số ngẫu nhiên Y},., Ym được giả sử là có cùng phân phối với hàm mật độ không biết ƒy. Các biến số ngẫu nhiên CỊ,.,?„ đại điện cho các sai số của phép đo và được gọi là các biến số ngẫu nhiên sai số, các nhiễu hay các sai số đo. Luận án tập trung vào hai van đề chính liên quan đến các sai số đo sau đây: (i) Các biến số ngẫu nhiên sai số ¡,.,@„ là độc lập và có cùng phân phối; các biến số ngẫu nhiên sai số ?,.,?„„ là độc lập và có cùng phân phối.
Hàm mật độ chung f¢ của các ¢; và hàm mat độ chung f, của các ?„ thỏa mãn trong đó M > 0. (ii) Các biến số ngẫu nhiên sai số éI,.,?„ là độc lập; tuy nhiên, các sai số đo này có thể khác phân phối. Mỗi ¢; có hàm mật độ được biết riêng của nó là ƒc;. Mỗi ?„ có hàm mật độ được biết riêng của nó là J„¿.
Các hàm mật độ này thỏa mãn supp (f¿) C [ - M , M ] , j = 1 ,. , m ; V trong đó M là hằng số dương độc lập với n và m. NHỮNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN: Sử dụng lý thuyết minimax, giải tích thực và giải tích phức, chúng tôi 1) xây dựng được ước lượng 45 cho Ø khi các sai số do éI,., là độc lập va có cùng phân phối; các sai số đo 7,.,m là độc lập và có cùng phân phối, sau đó chứng minh ước lượng này là ước lượng vững khi các ham mật độ ƒc và ƒ; thỏa man supp (fc) C [—M, M], supp (fy) C [—M, MỊ, và cuối cùng thiết lập các chặn trên và chặn dưới về tốc độ hội tụ thông qua ` 1/2 sai số (E bs — 2|) khi (fx, fy) thuộc lớp hàm F(8,C) trong đó 8 > 1/2, C > 0. 2) xây dung được ước lượng 6, cho 9 khi các sai số đo ,.,72„ là độc lập; tuy nhiên, có thể khác phân phối, sau đó chứng minh ước lượng này là ước lượng vững khi các hàm mật độ ƒc ;, fy, thỏa man supp (ƒcj) C|[—M, MỊ], 7 =1,.,m, và cuối cùng thiết lập các chặn trên và chặn dưới về tốc độ hội tụ thông qua.
1/2 sai số (E ô„ - 2|) khi (fx, fy) thuộc lớp hàm Z (,©), trong đó 8 > 1/2, C>0. CAC UNG DUNG/ KHA NANG UNG DUNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU Bài toán ước lượng đại lượng 6 := P(X < Y) nhận được su quan tâm dang kể trong nhiều năm do những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như lý thuyết độ tin cậy, nông nghiệp, sinh vật học và đặc biệt là y khoa. Trong trường hợp X và Y là các biến số ngẫu nhiên liên tục thì đại lượng 9 chính là chỉ số AUC của đường cong ROC, giá trị của diện tích của vùng nằm dưới đường cong ROC. Đường cong này được sử dụng như một công cụ đồ thị cho việc đánh giá tính chính xác của một xét nghiệm chẩn đoán trong y khoa.
vì Một số vấn đề của bài toán có thể được khảo sát trong thời gian tới: e Khảo sát tốc độ hội tụ tối ưu trong trường hợp các sai số đo có hàm mật độ có giá compắc. e Các sai số đo có hàm mật độ thuộc loại trơn thường. vii Thesis information Thesis title: Nonparametric estimation of P(X < Y) Speciality: Probability theory and mathematical statistics Code: 9460106 Name of PhD Student: Ton That Quang Nguyen Academic year: 2019 — 2022 Supervisor: Prof. Dang Duc Trong At: VNUHCM - University of Science 1.
SUMMARY: The thesis studies the problem of estimating the quantity 6 := P(X < Y) from two samples (X},., Y„), in which Xi = Xj54+G, YK =Y+ +1, j =1,. Here, we assume that Xj, ¢j, Y, my are mutually independent for 1 < 7,7 < n; 1 < k,k’ < m. The random variables X1,.,X, are assumed to be identically distributed with an unknown density function fx; the random variables YỊ,., Yin are assumed to be identically distributed with an unknown density function fy. The random variables ¢1,.,¢n; 71,---;%m represent random noises and are called error random variables.
The thesis concentrates on two main problems related to error random variables following: (i) Homoscedastic case: the error random variables éị,.,é„ are independent and identically distributed; the error random variables 7,., 7m are inde- pendent and identically distributed. The general density function ƒc of ¢; and the general density function ƒ„ of nz satisfy supp (fc) Cc [-M,M], supp (f,) C [—M, M], where M > 0. (ii) Heteroscedastic case: the error random variables Ó1,.-, 7 are mu- tually independent. Each ¢; has its own known density ƒc;.
Each 7, has its own known density ƒ„„. These densities satisfy supp (fc) Cc [—-M,M],j =1,.,m; vili where M is a positive constant independent of n and m. NOVELTY OF THESIS: Using the minimax theory, real analysis and complex analysis, we 1) construct an estimator 65 for Ø when the random noises are homoscedastic, then prove that this estimator is consistent when the general density function ƒ of ¢; and the general density function f, of n, satisfy supp (fc) C [—M, M], supp (fy) C [—M, MỊ, and finally establish upper and lower bounds on the convergence rate with ˆ 1/2 respect to ( q 65 — 2|) -error when (fx, fy) belongs to the class F (8,C) in which Ø > 1/2,C > 0. construct an estimator 6, for Ø when the random noises are heteroscedastic, then prove that this estimator is consistent when the density functions ƒc;, Jn,k Satisfy supp (fc,) C|[—M,M], j=1,.,m, and finally establish upper and lower bounds on the convergence rate with respect to (E 5 — 2|) “Ể or when (fx, fy) belongs to the class F (6, C) in which 6 > 1/2, C > 0.
APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE The problem of estimating the quantity 6 := P(X < Y) has received consid- erable attention for many years due to its applications in many different fields, such as reliability theory, agriculture, biology and especially medicine. In the case that X and Y are continuous random variables, the quantity 6 is the AUC index of the ROC curve, the area under the curve. This curve is used as a graphing tool for assessing the accuracy of a diagnostic test in medicine. Some aspects of the problem can be investigated in the near future: e Study the optimality of the convergence rate in the case that error random variables have the compactly supported density function.
e Error random variables have the ordinary smooth type density function.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ nghiên cứu ước lượng phi tham số cho P(X<Y) từ dữ liệu nhiễu. Xây dựng ước lượng vững và thiết lập chặn hội tụ bằng lý thuyết minimax.
Luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. HCM. Năm bảo vệ: 2023.
Luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Danh mục: Xác Suất Thống Kê.
Luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" có bao nhiêu trang?
Luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" có 95 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Ước lượng phi tham số cho P(X<Y) với dữ liệu nhiễu" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.