Luận án tiến sĩ: Một số bài toán Cauchy chứa kì dị trong không gian Banach - Phạm Văn Hiển (ĐH Sư Phạm TP.HCM)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ———————————- PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả mới viết trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa được công bố bởi bất cứ tác giả nào khác. Nghiên cứu sinh Phạm Văn Hiển 1 luan an Mục lục LỜI CAM ĐOAN 1 MỞ ĐẦU 4 0.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán .2 Sử dụng ánh xạ co trong nghiên cứu bài toán .3 Sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài toán. 11 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 14 1.1 Các định lý điểm bất động .2 Không gian với thứ tự sinh bởi nón .3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn .4 Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc .5 Một số kiến thức khác.

20 Chương 2 SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 22 2.1 Bài toán với kì dị yếu .2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu .2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm .3 Kỹ thuật lặp đơn điệu .4 Bài toán có chậm. 38 Chương 3 SỬ DỤNG ÁNH XẠ CO TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 42 3.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương .2 Bài toán có chậm .1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tổng quát .2 Bài toán áp dụng .3 Bài toán trên miền vô hạn. 54 2 luan an 3 Chương 4 SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 56 4.1 Xây dựng không gian Fréchet và độ đo phi compact cho bài toán .2 Bài toán Cauchy không có chậm .3 Giải bài toán có chậm .4 Cấu trúc tập nghiệm của một lớp bài toán Cauchy trên thang không gian Banach .1 Bài toán và không gian nghiệm .2 Một số bổ đề cần thiết .3 Cấu trúc tập nghiệm. 77 KẾT LUẬN 82 Danh mục công trình của tác giả 84 Tài liệu tham khảo 84 luan an MỞ ĐẦU Các quá trình trong Tự nhiên và Xã hội đều phụ thuộc vào thời gian t và thường được mô tả bởi phương trình vi phân với điều kiện đầu (hay bài toán Cauchy) như sau: u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1) trong đó u : [0, T ] → X là ẩn hàm, f : [0, T ] × X → X là hàm đã biết, thỏa mãn một số điều kiện và X là một không gian vectơ tôpô.

Nghiệm của bài toán theo nghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) là hàm u ∈ C([0, T ], X) ∩ C 1 ((0, T ), X) thỏa mãn (1). Ban đầu, bài toán (1) được nghiên cứu với X là một không gian hữu hạn chiều. Khi đó (1) là phương trình vi phân thường và Peano đã chứng minh sự tồn tại nghiệm khi f là hàm liên tục; Picard khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm khi f liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là kf (t, u) − f (t, v)kX ≤ Cku − vkX. Khi đó định lý Picard vẫn đúng; định lý Peano đúng khi f liên tục và thỏa mãn thêm điều kiện có liên quan tới tính compact, ví dụ điều kiện "cô đặc" đối với độ đo phi compact α trong không gian X , dạng
α f (t, B) ≤ Cα(B), B ⊂ X là tập bị chặn.

Có hai phương pháp cơ 4 luan an 5 bản để tìm điểm bất động của ánh xạ F. Ở phương pháp thứ nhất, điểm bất động được tìm như là giới hạn của dãy lặp sau: u0 (t) = u0 , un+1 (t) = F un (t), ∀t ∈ [0, T ]. Phương pháp thứ hai là sử dụng các định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng của nó là Định lý Darbo–Sadovskii khi f thỏa mãn một điều kiện về tính compact. Trong luận án này chúng tôi sẽ xét một lớp bài toán Cauchy chứa kì dị.

Đó là bài toán Cauchy (1) trên một họ (cũng gọi là một thang) các không gian Banach (Xs , k.ks ), s ∈ [a, b] thỏa mãn Xs0 ⊂ Xs , kxks ≤ kxks0 , ∀x ∈ Xs0 , s < s0. Tính kì dị thể hiện ở chỗ ánh xạ f không tác động từ một không gian vào chính nó mà vào các không gian rộng hơn f (t, Xs0 ) ⊂ Xs , s < s0 , và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ở dạng C kf (t, u) − f (t, v)ks ≤ ku − vks0 , u, v ∈ Xs0 , s < s0 (5) s0 − s hoặc điều kiện cô đặc dạng C αs0 (B), B ⊂ Xs0 bị chặn, s < s0 ,
αs f (t, B) ≤ 0 (6) s −s trong đó αs là độ đo phi compact Kuratowski trên Xs. Các nhà toán học L.Yamanaka là những người đầu tiên sử dụng thang không gian Banach khi nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy— Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng [44, 45, 54, 55]. (7) ∂t ∂xi i=1 Họ đã xây dựng thang không gian Banach như sau.

Với số dương s, đặt Xs là không gian các hàm giải tích trên quả cầu mở Bs = {x ∈ Rn : kxk < s} và liên tục trên Bs với chuẩn: X sk kuks = sup |Dα u(x)| < ∞, k! x∈Bs k∈N |α|=k luan an 6 trong đó α = (α1 , ., αn ) ∈ Nn là bộ đa chỉ số và |α| = α1 +. Ta có thể chứng minh được C kuxi ks ≤ kuks0 , ∀ 0 < s < s0 , i = 1,. s0 − s Và do đó C kLuks ≤ kuks0 , 0 < s < s0 .) và λ là một hằng số dương. Một cách tự nhiên, chúng ta hy vọng rằng khi ánh xạ f thỏa mãn điều kiện (5), các kết quả về bài toán tuyến tính cụ thể (7) cũng sẽ đúng cho bài toán Cauchy phi tuyến (1) trên thang không gian Banach trừu tượng.

Tuy nhiên điều này chỉ đạt được sau một thời gian khá dài., u − u0 )tq , p=0 q=0 trong fp,q là một dạng p-tuyến tính thỏa mãn điều kiện C kfp,q (u1 , u2 , ., up )ks ≤ ku1 ks0. s0 − s Tiếp theo, vào năm 1972, L. Nirenberg xét bài toán (1) trên thang không gian trừu tượng với các giả thiết phức tạp: Với mỗi u ∈ Xs0 , t ∈ [0, T ] và s < s0 thì tồn tại toán tử tuyến tính Au (t) : Xs0 → Xs sao cho: kAu (t)kL(Xs0 ,Xs ) ≤ C1 , C2 kf (t, v) − f (t, u) − Au (t)(v − u)ks ≤ 0 kv − uk1+δ s0 , u, v ∈ Xs , δ > 0. 0 s −s Chỉ đến năm 1977 thì T.

Tiếp theo bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như K. Asano luan an 7 [3], R. với các giảm nhẹ của điều kiện (5), ví dụ điều kiện: Z t Cku(τ ) − v(τ )ks(τ ) kF u(t) − F v(t)ks ≤ dτ, 0 s(τ ) − s trong đó s < s(τ ) ≤ b − λt với mọi 0 ≤ τ < t < T và F là ánh xạ trong (4). Các kết quả trên đều có một đặc điểm chung, đó là nếu điều kiện đầu u0 thuộc không gian Xb của thang thì nghiệm có tính chất (9).

Như vậy để nghiệm tốt (thuộc không gian Xs với s gần b) thì khoảng tồn tại nghiệm là nhỏ. Bước tiếp theo trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên thang không gian Banach là thay điều kiện Lipschitz (5) bởi các điều kiện có liên quan tới tính compact.
kf (t, u)ks ≤ (10) s0 − s Điều kiện cô đặc theo độ đo phi compact dạng (6) được sử dụng trong các nghiên cứu của K. Sau ứng dụng khởi đầu để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (7) thì lý thuyết về bài toán Cauchy trên thang không gian Banach đã được ứng dụng cho đến hôm nay trong rất nhiều lĩnh vực.

Đó là ứng dụng cho các phương trình phi tuyến trong cơ học chất lỏng như phương trình Boltzmann, phương trình Navier–Stokes [16, 38, 43, 49, 50], các phương trình đạo hàm riêng không địa phương như phương trình Camassa–Holm, phương trình Novikov [10, 11, 30, 33, 53], phương trình dòng chảy Prandtl [38, 53], phương trình Kirchhoff [26, 27, 35], phương trình Burgers [24], cho các phương trình đạo hàm riêng có chậm theo biến thời gian và không gian [4, 36, 37, 56], cho các phương trình bậc không nguyên [8, 9] và gần đây là cho các hệ động lực Glauber, hệ động lực ngẫu nhiên sinh-tử trong các môi trường liên tục [14, 17, 21, 22, 23],. Trong luận án, các kết quả nghiên cứu của chúng tôi về bài toán Cauchy trên thang không gian Banach được trình bày trong ba chương, tương ứng với việc sử dụng dãy lặp, Định lý ánh xạ co hoặc Định lý điểm bất động Schauder–Darbo– Sadovskii khi nghiên cứu bài toán.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán Trong một thời gian dài (đến 1995) nghiên cứu bài toán Cauchy trong thang không gian Banach, các nhà nghiên cứu chủ yếu sử dụng phương pháp xây dựng dãy lặp với các giả thiết phức tạp. Nirenberg xây dựng dãy lặp Newton hội tụ nhanh để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương với điều kiện Lipschitz (5), T. Assano sử dụng dãy lặp Picard.

Ưu điểm của phương pháp xây dựng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ánh xạ F (được định nghĩa trong (4)) là ta chỉ cần "tính chất co" của F trong dãy lặp này. Trong luận án, chúng tôi xây dựng dãy lặp để nghiên cứu 4 lớp bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach: • Bài toán với kì dị yếu. • Bài toán bậc không nguyên với kì dị yếu. • Bài toán trên thang các không gian có thứ tự.

• Bài toán có chậm. Chúng tôi gọi bài toán Cauchy (1) trong thang các không gian Banach có kì dị yếu nếu điều kiện Lipschitz (5) được thay bởi C kf (t, u) − f (t, v)ks ≤ ku − vks0 , u, v ∈ Xs0 , s < s0 , (11) (s0 − s)p với p ∈ (0, 1). Trong trường hợp này chúng tôi chứng minh được sự tồn tại, duy
nhất nghiệm toàn cục u ∈ C [0, T ], Xs với mọi s < b và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện đầu.