Bài toán ngược và lời giải xấp xỉ ổn định ứng dụng vào phương trình tích phân lu

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 1995 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ❖ NGUYỄN CAM BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LUẬN ÁN PHÓ TIẾN SĨ TOÁN LÝ Chuyên ngành : GIẢI TÍCH HÀM Mã hiệu : 1.01 Người hướng dần : TIẾN SĨ QUỐC GIA TRẦN VĂN TẤN Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Đại Học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh Thành Phố Hồ Chí Minh 1995 2 LUẬN ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: Tiến Sĩ Quốc Gia TRẦN VĂN TẤN Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh Giáo Sư Tiến Sĩ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Đại Học Tổng Hợp Tp.

Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: Người nhận xét 2: Cơ quan nhận xét: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án Nhà nước họp tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Vào hồi …. LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành biết ơn Thầy hướng dẫn Tiến Sĩ Quốc Gia Trần Văn Tấn, Giáo Sư Tiến Sĩ Đặng Đình Áng. Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã khích lệ và dành cho tôi nhiều điều kiện thuận lợi trong khảo cứu. Tôi xin chân thành cám ơn Phó Giáo Sư Dương Minh Đức đã cho nhiều nhận xét, quý báu về nội dung của luận án.

Tôi xin chân thành cám ơn sự động viên ân cần của quý đồng nghiệp Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Khoa Toán Trường Đại Học Tổng Hợp Thành Phố Hồ Chí Minh; Sự giúp đỡ chí tình của Anh Đinh Ngọc Thanh trong quá trình tôi hoàn thành lập luận án này. Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 1995. NGUYỄN CAM BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN MỞ ĐẦU Từ năm 1960 trở lại đây, các bài toán ngược không chỉnh được các nhà Toán học trên thế giới khảo cứu một cách sâu rộng mà tiêu biểu là các công trình của Tikhonov, Lavrentiev, Lions. Từ thời gian đó nay các bài toán ngược không chỉnh càng ngày càng được chú ý khảo cứu một cách rộng rãi vì nó mang lại rất nhiều áp dụng quan trọng trong y học, kỹ nghệ, địa vật lý và kỹ thuật.

Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu hai bài toán ngược không chỉnh : Bài toán xác định miền cho một phương trình elliptic và bài toán Stenfan ngược. Mục đích của luận án là xét sự chỉnh hóa hai bài toán ngược nêu trên với các nội dung gồm : xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định; sự duy nhất nghiệm của bài toán; đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ với lời giải chính xác. Luận án được hình bày gồm hai phần. Phần một được dành cho sự khảo cứu bài toán xác định miền cho một phương trình elliptic.

Bằng Cách xử dụng cực trị của một phiếm hàm liên tục trên một tập compact chứa trong một không gian hàm thích hợp, rồi lại xấp xỉ phiếm hàm nói trên bởi các phiếm hàm liên tục trên các không gian hữu hạn chiều để đưa ra cách 1 xây dựng lời giải xáp xỉ ổn định. Sau đó là khảo sát tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định miền. Phần hai của luận án là bài toán Stefan ngược. Trong phần này chúng tôi xét một bài toán Stefan ngược một chiều và một bài toán Stefan ngược hai chiều.

Bằng cách đưa về phương trình tích phân loại một; rồi chuyển sang phương trình tích chập; sau đó sử dụng phương pháp Tikhonow để đưa ra cách xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định đồng thời đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ với lời giải chính xác khi các dữ liệu đo được bị lệch với sai số ε. 2 KÝ HIỆU 𝐺̅ : Bao đóng của tập hợp G. ∂G: Biên của tập hợp G. Miền G: tập G mở và liên thông.

∂u = Di u: đạo hàm riêng phần cùa hàm u ∂xi : Toán tử Laplacien cùa hàm u.n = n1 + 𝑛2 : đạo hàm theo hướng pháp tuyến n của hàm u. ∂𝑛 ∂ 𝑥1 ∂ 𝑥2 H1 (G) = W1,2 (G): Không gian sobolev. ∂ 𝑥1 ∂ 𝑥1 ∂ 𝑥2 ∂ 𝑥2 B(r,x) : quả cầu mở tâm X, bán kính r. � (r, x) : quả cầu đóng tâm X, bán kính r.

B � ):Không gian các hàm số liên lục trên G. C(G � )::Không gian các hàm số có đạo hàm liên lục trên G. C1(G C2 (G):Không gian các hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên G. 𝑜 𝐺 : phần trong của tập hợp G G \ G1 = {x ∈ R2 | x ∈ G và x ∉ G1} f ≡ 0trên Γ với mọi x∈ Γ f ≢ 0 trên Γ : tồn tại x∈ Γ sao cho f(x) ≠ 0 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 1.

Bất đẳng thức Poincaré 1.1 Không gian H1 (Ω), 𝐻01 (Ω) Cho Ω là một miền bị chặn trong R2. Ta định nghĩa 𝜕𝑢 trong đó là đạo hàm riêng của u theo nghĩa suy rộng H1 (Ω) là không gian 𝜕𝑥𝑖 Hilbert với tích vô hướng định bởi : (u,v) = ∫Ω u, v + ∫Ω ∇u. Bất dẳng thức Poincaré ([5]). Cho Ω là tập hợp mở và bị chặn trong R2.

Tồn tại một. hằng số C > 0 sao cho : ‖𝑢‖𝐿2 (Ω) ≤ C ‖∇𝑢‖�𝐿2 (Ω)�2 với mọi x ∈𝐻01 (Ω) Do dó trên 𝐻01 (Ω) hai chuẩn sau đây : ‖u‖H1 (Ω) và ‖∇u‖�L2 (Ω)�2 là tương đương. Mở rộng bất đẳng thức Poincaré ([32]) Định lý : Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên ∂Ω khá trơn (smooth); Γ0⊂∂Ω thỏa õGo > 0 và Γ0 là mở trong ∂Ω. Với p > 1 thì tồn tại hằng số C > 0, (C chỉ phụ thuộc vào n, p, Ω, Γ0) sao cho : đặc biệt khi u∈ {v∈ 𝑊1, 𝑝 (Ω)| 𝑣 = 0 𝑡𝑟ê𝑛 Γ0 } thì ‖u‖W1−p(Ω) ≤ C ‖∇u‖[Lp(Ω)]n Do đó trên V thì chuẩn ‖u‖W1−p(Ω) và chuẩn ‖∇u‖[Lp(Ω)]n là tương đương với nhau.

Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biến ∂Ω đủ trơn (smooth). Với m = 1 hoặc m = 2 thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục R : Wm.p (Ω) → Wm-1,q (∂Ω) �) sao cho Ru = u|∂Ω nếu u ∈ C2 (Ω np−p trong đó : q ≤ nếu 1 ≤ p < n hoặc nếu 1 ≤ p < n n−p Từ định lý trên ta suy ra rằng : tốn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục : R : H1 (Ω) = W1,2 (Ω) → L2 (∂Ω) �) sao cho Ru = u|∂Ω với mọi u ∈ C2 (Ω 3. Một định lý về điểm bất động Định lý : Cho X là một không gian Banach, M là một tập hợp đóng trong không gian X, ánh xạ f: M→ M thỏa. Định lý ánh xạ ngược Định lý : Cho X, Y là hai không gian Banch; U là một tập hợp mở trong X với x0 ∈ M và một ánh xạ f: U→ Y thuộc lớp C1 ( có đạo hàm cấp một liên tục trên U)và giả sử rằng f’(x0) :X → Ylà khả đảo.

Thì f là C1 khả đảo địa phương tại x0 ,nghĩa là tồn tại một tập hợp mở V1 trong Y với và một f(x0) ∈ V1 ánh xạ V1 → U1 thỏa ϕof (x) = x, với mọi x∈ U1 ( U1 là tập mở chứa trong U) foϕ(y) = y với mọi y∈ V1 ϕ’(y) = [f’(x) ]-1 (Với y = f(x)). Công thức đổi biến số: Định lý : ([5]) Cho Ω và Ω' là hai tập mở của Rn và H: Ω’ → Ω là một song ánh thỏa : H ∈ C1 (Ω’) ; H-1 ∈ C1 (Ω) Jac H ∈ L∞ Ω’); Jac H-1 ∈ L∞ Ω); Thì ta có : i) Nếu u ∈ W1,p (Ω) thì uo H ∈ W1,p (Ω’) (1≤ p ≤ ∞) ii) (trong đó H(y) = x và j = 1, 2, …, n) 7 6. Về công thức Green: 6. Công thức Green : � ) thì ta có Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn, u, v ∈ C2 (Ω) ∩ C (Ω 6.

Công thức Green mở rộng ([32]). Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn, với u ∈ H1 (Ω), v∈ H1 (Ω) thì ta có 7. Định lý Lax - Milgram 7.1 Định nghĩa : Cho H là một không gian Hilbert và a: H × H → R là một song tuyến tính i) a liên tục trên H nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |a(u, v) ≤ C|| u ||. ||v || với mọi u, v trong H.

ii) a là bức nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho a(v, v) ≥ 𝛼‖𝑣‖ 2 với mọi v trong H.2 Định lý Lax - Milgram ([32]). Cho a(u, v) là một song tuyến tính liên tục và bức trên không gian Hilbert H. Với ϕ ∈ H’ (ϕ là một phiến hàm tuyến tính liên tục trên H) thì tồn tại duy nhất một phần tử u ∈ H sao cho. Bổ đề : Cho K là một tập compact trong không gian Banach E.

Với mọi ε > 0 cho trước thì tồn tại một tập hợp hữu hạn {a1, a1, … an} trong K và một ánh xạ liên tục P: K → E sao cho: i) || P(x) – x|| ∈ ε với mọi x thuộc K ii) P(K) ⊂ C0 {a1, a1 ,… an} (Với là C0 {a1, a1 ,… an} là bao lồi của {a1, a1 ,… an}.) Chứng minh Đặt ε = min (1, ε). Xét họ quả cầu mở {B(x,ε’)| x ∈ K} là một phủ mở của K. Vì K là là tập compact nên tồn tại một số hữu hạn các phần tử a1, a1 ,… an trong K sao cho : Với mỗi i ∈ {1, 2, … ,n}ta đặt hàm định ϕi : E → R bởi ϕI (x) = max (0, ε’ - ||x = a1||) rõ ràng ϕi là các hàm số liên tục và thỏa ϕi (x) = 0 nếu x ∉ B(ai, ε’) 9 ϕi (x) > 0 nếu x ∈ B(ai, ε’) Từ đó ta suy ra rằng : ϕI (x), ||x – ai || ≤ ϕi (x). ε’ với mọi x ∈ E và với mọi x ∈ K Bây giờ ta đặt : P : K → E bởi : thì ta có P là liên tục trên K và P(K) ⊂ Co {a1, a2, …, an} Hơn nữa, ta còn có : nên ||Px – x|| < ε’ ≤ ε.

Vậy bổ đề đã được chứng minh. Hệ quả : Cho K là một tập compact trong không gian Banach E thì tồn tại một dãy các ánh xạ liên tục Pm : K → Em thỏa.