Luận án tiến sĩ: Đường cong Brody giới hạn và nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI & TRƯỜNG ĐẠI HỌC PAUL SABATIER, PHÁP TRẦN ĐỨC ANH TÊN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI & TRƯỜNG ĐẠI HỌC PAUL SABATIER, PHÁP TRẦN ĐỨC ANH TÊN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TSKH Đỗ Đức Thái 2. Thomas Hà Nội – Năm 2017 1 Lài cam đoan Tôi xin cam đoan nhung ket qua đưoc trình bày trong lu¾n án này là trung thnc và mói. Các ket qua cna hai chương 1 & 2 thì đã đưoc công bo o các tap chí Toán hqc trong và ngoài nưóc, các ket qua o chương 3 là mói và chưa công bo o tap chí nào.

Các ket qua viet chung vói GS Nikolai Nikolov và GS Pascal J. Thomas đã đưoc sn đong ý cna các đong tác gia khi đưa vào lu¾n án. Tran Đúc Anh 2 Mnc lnc Lài cam đoan. 5 Danh mnc ký hi¾u.13 Chương 1Ve sN không ton tai các đưàng cong E − Brody giái han25 1.2 Sn không ton tai các đưòng cong Brody giói han.26 Chương 2Bài toán nâng ánh xa tN đa đĩa đoi xNng hóa không có đieu ki¾n đao hàm31 2.2 Các đ®ng cơ nghiên cúu và các phát bieu.3 Nhung thu gqn đau tiên cna bài toán.4 Các đieu ki¾n can.5 M®t công thúc cho ánh xa nâng.1 Dang Jordan sua đoi.2 Sai phân chia.3 M®t ánh xa nâng phân hình.4 Các tính toán cơ ban.6 Trưòng hop n ≤ 5.1 Trưòng hop n = 4.2 Trưòng hop n = 5.7 Phan ví du cho công thúc nâng khi n ≥ 6.51 Chương 3Bài toán nâng ánh xa tN đa đĩa đoi xNng hóa có đieu ki¾n đao hàm b¾c nhat53 3.1 Phát bieu bài toán.2 Nhung thu gqn đau tiên cna bài toán.4 Nhung phân tích đau tiên ve bài toán.5 Các trưòng hop cna B0.6 Ánh xa tuyen tính liên ket LB0,B1 , các đieu ki¾n và lưoc đo chúng minh.7 Trưòng hop thú nhat cna B0.1 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 3.2 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 4.8 Trưòng hop thú hai cna B0.1 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 2.2 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 3.3 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 4.9 Trưòng hop thú ba B0.1 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 2.2 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 3.3 Trưòng hop rank(LB0,B1 ) = 4.103 Đánh giá và bàn lu¾n các ket qua115 Ket lu¾n.

117 Kien ngh% ve nhÑng nghiên cNu tiep theo.121 Các bài báo đã đưac công bo và tien an pham cua tác gia .123 5 Lài cam ơn Đau tiên, tôi chân thành cam ơn hai thay đong hưóng dan là GS Đo Đúc Thái và GS Pascal J. Thomas đã đong ý hưóng dan tôi thnc hi¾n lu¾n án, nhat là trong đieu ki¾n kinh phí khó khăn và cũng như thn tuc hành chính phúc tap (do ket hop ca hai thn tuc hành chính giua Vi¾t Nam và Pháp). Nghiên cúu trong đieu ki¾n như v¾y, ve cơ ban là vat va cho ca hai thay lan hqc trò. Các ý tưong cơ ban cna các ket qua trong lu¾n án đeu đưoc hình thành trong thòi gian ngan o Pháp, bao gom 1,5 + 3 + 3 tháng o Pháp (túc gom 3 lan sang Pháp theo kinh phí do Pháp tài tro, và chn yeu nguon tài tro đó là do GS Pascal J.

Thomas tìm kiem cũng như lo lang các thn tuc hành chính). Chính vì v¾y, khi đat đưoc bat kỳ ket qua nào trong quá trình tôi đeu cam thay rat biet ơn các thay đã tao đieu ki¾n làm vi¾c trong thòi gian đó. Tôi cũng chân thành cam ơn GS Gerd Dethloff và GS Hà Huy Khoái đã đong ý phan bi¾n lu¾n án. Tôi cũng xin chân thành cam ơn GS Nguyen Quang Di¾u, PGS Nguyen Vi¾t Dũng, PGS Tran Văn Tan, PGS Sĩ Đúc Quang, TS Ninh Văn Thu, TS Pham Đúc Thoan đã đong ý tham gia h®i đong bao v¾ cap b® môn; GS Lê M¾u Hai, PGS Hà Huy Vui, PGS Pham Hoàng Hi¾p, PGS Jasmin Raissy đã đong ý tham dn h®i đong bao v¾ cap trưòng cho lu¾n án cna tôi.

Cuoi cùng, ket qua công vi¾c này không the ra đòi neu không có sn giúp đõ và chia se trong công vi¾c giang day cna các đong nghi¾p o khoa Toán, sn chu đáo cna gia đình, sn nng h® tinh than tù các ban bè. 6 7 Danh mnc ký hi¾u • Ωn : Qua cau pho đơn v%, t¾p hop gom tat ca các ma tr¾n vuông cap n có bán kính pho bé hơn 1. × • Cm,n ho¾c Cm n : T¾p các ma tr¾n cõ m × n vói h¾ so phúc. • Cho ma tr¾n A = (aij).

Khi đó aij đưoc gqi là h¾ so cna A ho¾c h¾ so đau vào cna A. Đay đn hơn là: aij là h¾ so (đau vào) ó v% trí (i, j) cna A. • Gn : đa đĩa đoi xúng hóa chieu n. • σi : Đa thúc đoi xúng sơ cap thú i.

Khi viet σi(M ) vói M ∈ Cn,n ta hieu theo hai cách: σi(M ) là đa thúc đoi xúng sơ cap thú i cna các giá tr% riêng cna M. Cách thú hai là: σi(M ) là h¾ so −b¾c n i cna đa thúc đ¾c trưng cna M (sai khác dau). • Tr : Vet cna ma tr¾n vuông, ho¾c vet cna tn đong cau tuyen tính. Lý do chqn đe tài Các van đe đưoc bàn trong lu¾n án này đeu là sn tiep noi các công trình nghiên cúu cna hai thay hưóng dan cna nghiên cúu sinh là GS.

TSKH Đo Đúc Thái và GS. Lu¾n án gom 3 chương. Chương 1 bàn ve các đa tap phúc không thu®c kieu E− giói han. Đây là khái ni¾m do ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu đ¾t ra trong bài báo [7] nham nghiên cúu câu hoi ve tính Zalcman cna các đa tap phúc, đưoc đ¾t ra trong bài báo cna ba tác gia Đo Đúc Thái, Pham Nguyen Thu Trang và Pham Đinh Hương [8].

Các khái ni¾m và van đe này đeu liên quan gan gũi tói tính (phi) chuan tac cna các hq ánh xa chinh hình, túc là cũng gan gũi vói tính hyperbolic và các tính chat đưoc quan tâm cna các đa tap phúc. Chương 2 và chương 3 bàn ve bài toán nâng ánh xa chinh hình tù đa đĩa đoi xúng hóa lên qua cau pho. Đây là bài toán phái sinh tù lý thuyet n®i suy Nevanlinna-Pick pho, m®t chn đe mà GS. Thomas nghiên cúu nhieu năm.

Qua cau pho Ωn là t¾p các ma tr¾n vuông phúc cap n mà có bán kính pho bé hơn 1. Bài toán n®i suy trong qua cau pho đưoc nhieu ngưòi quan tâm là vì nó có cơ so thnc tien trong ky thu¾t, mà ban thân nghiên cúu sinh chưa tìm hieu đưoc ky càng. Ta có the tham khao tong quan rat thú v% cna GS. Young [23] cho nhung úng dung đó.

Tuy nhiên, qua cau pho là đoi tưong tương đoi khó nghiên cúu: ve m¾t hình hqc, nó không he đep, ve m¾t giai tích hàm cũng không khá hơn bao 2 nhiêu. Đây là m®t mien trong Cn và không b% ch¾n. Các ky thu¾t hq chuan tac không chay đưoc trong không gian này. Quãng năm 2000, hai tác gia J.

Young đã đe ra nghiên cúu m®t mien phái sinh tù qua cau pho, đó là đa đĩa đoi xúng hóa Gn. Ta có the xem bài báo [1] cho đoi tưong này. Ta có the hieu đa đĩa đoi xúng hóa Gn là t¾p hop ghi chép lai pho cna các ma tr¾n "m®t cách liên tuc". Đây là m®t t¾p b% ch¾n và là t¾p siêu loi theo nghĩa giai tích phúc các mien.

Túc là t¾p hop này đem lai hi vqng rang bài toán n®i suy se có nhieu tien trien hơn. Cách làm cna J. Young là thay vì xét bài toán n®i suy trong 9 10 qua cau pho thì ta chieu xuong đa đĩa đoi xúng hóa và xét bài toán n®i suy trong đó, và sau đó tìm cách quay tro lai qua cau pho, mà sau này trong lu¾n án gqi là bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng hóa. Thnc te thì qua cau pho và đa đĩa đoi xúng hóa đã thu hút đưoc rat nhieu nhà nghiên cúu o khap nơi, đ¾c bi¾t là các nhà toán hqc Ba Lan.

Young xuat phát nghiên cúu luôn là tù quan điem lý thuyet toán tu. Tuy nhiên, vói bài toán n®i suy trong qua cau pho (hay bài toán Nevanlinna-Pick pho) thì phương pháp toán tu nói chung g¾p tro ngai đáng ke và khó tien trien. Các nhà toán hqc Ba Lan thu®c phái giai tích mien nhìn nh¾n bài toán theo kieu giai tích phúc mien, và hq đat đưoc nhieu ket qua. Thay đong hưóng dan cna tôi cũng đóng góp đưoc ít nhieu ket qua và ca quan điem thuan túy giai tích phúc đe giai quyet bài toán n®i suy này.

Bài toán nâng ánh xa tù đa đĩa đoi xúng hóa là bài toán tìm đieu ki¾n can và đn đe có the nâng m®t đĩa chinh hình trong Gn lên Ωn. Đây là bài toán thú v% và có the đem lai m®t lưong úng dung đáng ke neu nó đưoc giai quyet m®t cách trqn ven. Vói nhung đ®ng cơ như the, chúng tôi đã co gang nghiên cúu theo hưóng đó, và hi vqng các ket qua trình bày trong lu¾n án giúp làm sáng to thêm phan nào các câu hoi đưoc bàn o trên. Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna lu¾n án gom: (i) Mo r®ng ket qua cna ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu [7].

(ii)Đưa ra công thúc nâng cu the cho bài toán nâng ánh xa không có đieu ki¾n đao hàm vói chieu n ≤ 5 và chi ra phương pháp nâng mà tác gia Pascal J. Thomas đưa ra không hoat đ®ng vói n ≥ 6. (iii)Nghiên cúu bài toán nâng ánh xa vói đieu ki¾n đao hàm b¾c 1 cho trưóc trong chieu n = 4. Tìm cách đưa ra dang đieu ki¾n "de su dung" hơn so vói ba tác gia trưóc đó là N.

Đoi tưang và pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n án là các không gian không thu®c kieu E−giói han, qua cau pho và đa đĩa đoi xúng hóa. Phương pháp nghiên cNu 11 Phương pháp nghiên cúu trong lu¾n án là khao sát ky các lý lu¾n cna các tác gia trưóc đó như cna ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu, ho¾c ba tác gia N. Thomas; roi tù đó tìm cách mo r®ng phương pháp cna hq. Trù chương 1, lu¾n án thiên ve tính toán và phương pháp tính toán.